Редица от 1 и -1

[drago]

Дадена е безкрайната редица [tex](a_n)_{n=1}^{\infty}[/tex] , като всяко [tex]a_n[/tex] e едно от числата: [tex]+1[/tex] или [tex]-1[/tex] . Редицата изпълнява още условията:
[tex]\sum_{j=1}^m a_{d j} \leq 1[/tex]
за всеки [tex]m, d \in \mathbb{N}[/tex]
Докажете, че редицата [tex]b_n =\sum_{j=1}^n a_j \,\,,n=1,2,\dots[/tex] НЕ e ограничена.

ПП. Задачата си има история, но засега толкова.

[ptj]

Вероятно се искат 2 подредици на [tex]{b_n}[/tex] едната с граница [tex]-\infty[/tex], другата с [tex]+\infty[/tex],
по-точно тя да наподобява {-1;1;-2;2;-3;3;...}.

[drago]

Имаш някакви неясноти по условието ли? Защото няма как подредица на [tex]b_n[/tex] да клони към [tex]+\infty[/tex] , тъй като [tex]b_n \le 1\,, \forall n[/tex].
Значи смисъла е следния. Във всяка крайна подредица [tex]a_d, a_{2d}, a_{3d},\dots, a_{m d}[/tex] , броят на единиците е не повече от с едно по-голям от броя на [tex]-1[/tex] -ците. Е, оказва се, че можем да отрежем редицата донякъде, така че броя на [tex]-1[/tex]-ците е с колкото си искаме по-голям от броя на [tex]1[/tex]-ците. Това трябва да се докаже. Това [tex]b_n[/tex] съм го въвел просто по-лесно да кажа горното.

[inveidar]

[tex]d[/tex] не трябва ли да е по-голямо или равно на 2? Просто искам да си изясня картинката. Нещо силно ми намирисва на теоремата на Ван дер Варден.

[inveidar]

Нека оцветим единиците в синьо, а минус единиците в червено. На популярен език теоремата на Ван дер Варден ни гарантира, че съществува аритметична прогресия от цели числа(това в нашата задача са индексите на единиците и минус единиците) с колкото ви е удобно крайна дължина, членовете на която са оцветени в един цвят. Това означава, че в една от редиците, например [tex]a_2, a_{4}, a_{6},\dots, a_{2m}[/tex] можем да си осигурим от някъде нататък да има само единици или минус единици и то толкова, че да компенсират сумата на първите членове. От условието е ясно, че това трябва да са минус единици. Така получаваме, че винаги можем да отрежем редицата така, че на четните места ([tex]d=2[/tex]) от някъде нататък да стоят само минус единици и то така, че броят им да е с колкото си искаме по-голям от броя на единиците....Ама кво праим с нечетните?! Ще го мисля после. Нещо ми се върти в главата да махнем първия член на редицата и да повторим разсъжденията? Дали ще стане?
Оп, намрих си грешка в разсъжденията!!! Не е задължително редицата да е [tex]a_2, a_{4}, a_{6},\dots, a_{2m}[/tex]!!! Може да е някоя друга. Дали може да се поправи нещо, или да се самоубивам?

[drago]

d може да е всяко ест. число, вкл. 1. Първат формулировка е точна, просто след това направих пояснение. Просто редицата не е ограничена отдолу. Отгоре очевидно е ограничена от 1.
Ван дер Барден (или Galai) ми се струва нереално, тъй като там се гарантира някаква прогресия, а тук прогресията на индексите не е каква да е: нейния първи член съвпада с разликата.
Задачата не използва нищо по "хай тек" . Един вид би могъл да я реши и седмокласник. Давана е на НОМ Китай, в мъничко по-усложнен вариант, но това е смисъла.

[matst]

Редицата [tex]a_n=(-1)^{n-1}[/tex] при [tex]n=1,2,\dots[/tex] удовлетворява условието и е такава, че редицата [tex]b_n[/tex] е ограничена.

[drago]

O..., много съжалявам, че бях така небрежен. Май развалих хубавата задача, а наистина си заслужава да я пробвате. Благодаря за това,че ме коригира. Тъй като не мога да я поправя по-горе, което си е голяма тъпня(на вниманието на админа!!!), ето така трябва да се чете, надявам се всичко сега дац е ОК.

Дадена е безкрайната редица [tex](a_n)_{n=1}^{\infty}[/tex] , като всяко [tex]a_n[/tex] e едно от числата: [tex]+1[/tex] или [tex]-1[/tex] . Редицата изпълнява още условията:
[tex]\sum_{j=1}^m a_{d j} \leq 1[/tex]
за всеки [tex]m, d \in \mathbb{N}[/tex]

Докажете, че за всяко [tex]A \in \mathbb{R}[/tex] можем да намерим [tex]m, d \in \mathbb{N}[/tex], така че:
[tex]\sum_{j=1}^m a_{d j} \leq A[/tex].

[drago]

Вместо [tex]a_n[/tex] да пишем [tex]a(n)[/tex], за да се чете по добре. Сега да допуснем противното, че [tex]\sum_{i=1}^{n} a(id)[/tex] е ограничена. Ако [tex]a(d)=1[/tex] , то като се има предвид условието, [tex]a(2d)[/tex] е равно на [tex]-1[/tex]. Да докажем, че за дост. големи [tex]d[/tex] от [tex]a(d)= -1[/tex] следва [tex]a(2d)=1[/tex]. За тази цел да предположим, че съществуват безкрайно много [tex]d[/tex] , за които [tex]a(d)=-1[/tex] и [tex]a(2d)=-1[/tex]. Да разгледаме двете крайни редици: [tex]a(1),a(2),\dots, a(n)[/tex] и [tex]a(2),a(4),\dots,a(2n)[/tex]. Във всяка от тях броя на положителните и отрицателните членове е почти същия, т.е. тяхната разлика е ограничена от някаква константа. На всяако положително [tex]a(i)[/tex] съответства отрицателно [tex]a(2i)[/tex]. Освен това има безкрайно много отрицателни [tex]a(i)[/tex] за които [tex]a(2i)[/tex] e също отрицателно. Следователно разликата м/у отрицателните и положителни членове в [tex]a(2),a(4),\dots,a(2n)[/tex] може да я направим колкото искаме голяма, противоречие. И така това означава, че от някое [tex]N[/tex] нататък:

[tex]a(2n)= - a(n)\,,\, \forall n\geq N \,\,\,\,\,\,\, (*)[/tex].

Като използваме това, получаваме:

[tex]\sum_{i=1}^{2n} a(id) = 0\,,\, \forall n,d\,,d\geq N \,\,\,\,\,\,\, (**)[/tex].

Нека фиксираме [tex]d \geq N[/tex] с [tex]a(d)=1[/tex]. Като използваме (*) и (**), последователно се получава:

[tex]a(2d)=-1/2,\, a(4d)=1/2,\, a(8d)=-1/2,\, a(3d)=-1/2,\, a(6d)=1/2,[/tex]
[tex]a(12d)=-1/2,\, a(5d)=-1/2,\, a(10d)=1/2,\, a(7d)=1/2,\, a(9d)=-1/2.[/tex]

Сега да разгледаме [tex]a(3d)+a(6d)+a(9d)+a(12d)[/tex]. Това трябва да е [tex]0[/tex], но от друга страна е [tex]-1+1-1-1=-2[/tex], противоречие.
И така, [tex]\sum_{i=1}^{n} a(id)[/tex] е неограничена отдолу.

ПП. Това е 6-та зад. на НОМ Китай, 2015, е в леко усложнен вариант: http://artofproblemsolving.com/communit ... _variation
Доколкото поразгледах линковете, е базирана на една хипотеза на Ердьош. Дадени са константите [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]. Съществува ли безкрайна редица [tex]a_n[/tex] от [tex]+1[/tex] и [tex]-1[/tex] , за която:

[tex]A \leq \sum_{i=1}^{n} a(id) \leq B\,,\, \forall d,n[/tex]

E, горното просто означава, че при [tex]B=1[/tex], и какво да е [tex]A[/tex] , такава редица няма. Не знам какво е положението в общия случай.