Подялба на наследство

[drago]

Двама братя, Иван и Петкан, получават в наследство нива с форма на правоъгълник с лице [tex]10^6[/tex]. Според завещанието подялбата се състои в следното:
Иван покрива нивата с краен брой правоъгълници, след което Петкан избира някои от тях, като спазва условието, никои две от избраните да не се пресичат във вътрешна точка.
Да се докаже, че Иван може така да нагласи нещата, че Петкан да остане с парчета с обща площ не повече от [tex]10^{-6}[/tex] !

[Baronov]

Това решение звучи като пълна глупост, но не мога да намеря грешка, затова ще го публикувам, за да видим какво мислят другите.

Нека Р е първоначалният правоъгълник. Разглеждаме Р като компактно множество в равнината и ще му построим отворено покритие. Нека О е произволна вътрешна точка.
Покриваме 4-те страни с 4 тънки отворени правоъгълници със страни успоредни на страните на Р, всеки с лице по-малко от [tex]\frac{10^{-6}}{5}[/tex]. За всяка точка Х от вътрешността на Р избираме правоъгълник съдържащ О и Х с лице по-малко от [tex]\frac{10^{-6}}{5}[/tex].

От компактността на Р следва, че това покритие съдържа крайно под-покритие. Иван избира правоъгълниците от това крайно под-покритие, за да покрие Р. Петкан може да избере най-много един от правоъгълниците с които покрихме вътрешността на Р, защото всички те съдържат О. Следователно, общото лице, което Петкан може да загради е [tex]4*\frac{10^{-6}}{5} + \frac{10^{-6}}{5} = \frac{10^{-6}}{5}[/tex].

Забележка: 4-те правоъгълника по страните излизат извън Р, но Иван може да ги замени със сечението им с Р, което също е правоъгълник.

[drago]

Да, така е. Съжалявам, но съм пропуснал нещо в условието, което е направило задачата по лесна. Ето така трябва да се чете.

Двама братя, Иван и Петкан, получават в наследство нива с форма на правоъгълник с лице [tex]10^6[/tex]. Според завещанието подялбата се състои в следното:
Иван покрива нивата с краен брой правоъгълници, със страни успоредни на страните на нивата, след което Петкан избира някои от тях, като спазва условието, никои две от избраните да не се пресичат във вътрешна точка.
Да се докаже, че Иван може така да нагласи нещата, че Петкан да остане с парчета с обща площ не повече от [tex]10^{-6}[/tex] !

[ptj]

Без загуба на общност можем да търсим решение на една по-проста задача:

Даден е квадрат с размер 2x2, който се покрива с правоъгълници по принципа на оригиналната задача (ориентирани успоредно на страните). Да се докаже, че съществува такова негово покритие G, че за всяко негово подпокритие G' (съдържащо се в [tex]G[/tex]) е вярно :

Ако [tex]G'[/tex] не съдържа правоъгълници имащи общи вътрешни точки, то неговата площ е не по-голяма от [tex]\frac{1}{4}[/tex].

Принципа на решение на тази задача, може да се приложи по-късно към общия случай.

[drago]

...Ако [tex]G'[/tex] не съдържа правоъгълници имащи общи вътрешни точки, то неговата площ е не по-голяма от [tex]\frac{1}{4}[/tex]...

Съгласен съм, само където горното трябва да го докажеш за всяко фиксирано [tex]\varepsilon >0[/tex] , а не само за [tex]1/4[/tex].
И с какво това съображение прави задачата по-лесна?

[drago]

http://artofproblemsolving.com/community/c6h1094296