Целочислена редица

[ptj]

Докажете:
[tex](x+\frac{1}{x})\in Z\Rightarrow[/tex] [tex]\forall n\in N : (x^n+\frac{1}{x^n})\in Z[/tex]

[Knowledge Greedy]

Привлекателна задача за математическа индукция ( ППМИ).

[Knowledge Greedy]

Едно малко упътване за начало?

Да разгледаме редицата [tex]\left \{z_n \right \}^{\infty}_{n=1}[/tex],
зададена със [tex]z_1=x+\frac{1}{x}[/tex] - цяло, [tex]z_2=x^2+\frac{1}{x^2}[/tex]
и [tex]\forall n \ge 2 \,\ \Rightarrow \,\ z_{n+1}=z_1.z_n-z_{n-1} \,\ (\ast)[/tex]

Обърнете внимание, че ако [tex]z_{n-1}[/tex] и [tex]z_n[/tex] са цели, то от [tex](\ast)[/tex] следва, че и [tex]z_{n+1}[/tex] е цяло.