Азиaтско състезание по математика AITMO

[vessy234]

1.Нека n точки лежат на една окръжност.Точно 1/2 от образуваните триъгълници са остроъгълни.Ако n e нечетно,колко е n?
2.Всяко от 2011 числа е 1,0 или -1.Намерете мин стойност на сумата от всички произведения на тези числа,взети по двойки.
Ще съм много благодарна дори за идеи.Благодаря предварително!

[ptj]

Частен случай: при правилен 5-тоъгълник общия брой на триъгълниците е [tex]C_5^3=\frac{5!}{2!3!}=10[/tex], като точно 5 от тях са тъпоъгълни.


Може да използваш един очевиден факт - един триъгълник е тъпоъгълен, точно когато в неговата описана окръжност съществува диаметър, за който въпросния триъгълник е изцяло в една от образуваните полуокръжности (от диаметъра). Без загуба на общност може да се разглеждат само правилни (2n+1) -ъгълници. От тях евентуални решения са само тези, за които [tex]C_{2n+1}^3[/tex] е четно.
При фиксиран диаметър с край една от дадените точки, разгледай първата (по часовникова стрелка) хорда с 2-ри край също от даденото множество от точки. Преброй триъгълниците, за които върха при 2-рата точка е тъп и тези, за които е остър. Повтори операцията за всички точки, а накрая съобрази колко общо трябва да са всички тъпи ъгли (1/6 от всички възможни)...

[ptj]

За 2-рата разгледай една фиксирана поредица от 0,1,-1 и започни да добавяш към нея нови елементи (може и по 2). Целта е да изследваш как се променя търсената сума. Т.е. реши задачата за общия случай и после приложи резултата 2011.

[MayaLazarova]

Според мен отговорът на втората задача е -1. Не ми се удава да го обясня коректно, затова няма и да се опитвам . А за първата ясно че броя триъгълници е равен на комбирация от n елемента, 3-ти клас, но явно, че не е достатъчно този брой да бъде четен. Има връзка, свързана с броя получени триъгълници, която очевидно не зависи от избора(разположението) на точките по триъгълниците. Аз тази зависимост не я знам

[drago]

...Без загуба на общност може да се разглеждат само правилни (2n+1) -ъгълници...

Защо? То, точно това е цялата работа. Ако беше дадено, че са върхове на правилен n ъгълник, то броя на остроъгълните/тъпоъгълни триъгълници се смята точно.
Идеята е, че при малко по-големички n, както и да са разположени точките, броя на остроъгълните триъг. е доста по-малък от този на останалите. Вярно е, че максималния брой остроъгълни триъгълници се достига, когато точките са върхове на правилен n-ъгълник, но това не е толкова очевидно. Вижте например: Romanian IMO Team Selection Test TST 1999, problem 13.

[vessy234]

Много ви благодаря за съдействието!А ако мога само да питам дали в следната задача се решава с комбинации или вариации не знам изглежда ми мн забъркана дори не мога да я осъзная:На едно парти всеки гост се ръкостиска с точно 3ма други гости,но никога двама човека не се ръкостискат повече от 1 път.Ако ръкостисканията са по-малко от 15,каква е мах стойност на хората на партито? Отг-8 /Австралийско кенгуру 2014/

[Добромир Глухаров]

Всеки от гостите участва в три ръкостискания и във всяко ръкостискане участват двама гости. Нека броят на гостите е [tex]n[/tex], а броят на ръкостисканията е [tex]l[/tex]. Имаме [tex]3n=2l[/tex] и [tex]l<15[/tex]. Следователно [tex]3n=2l<30[/tex]. Следователно [tex]n<10[/tex] и [tex]n[/tex] е четно. Максималната възможна стойност на [tex]n[/tex] е [tex]8[/tex].

[ptj]

Относно идеята - вече писах, как да се преброят тъпите и острите ъгли. Ще се опитам в близките дни да я превърна в решение.

[ptj]

...Без загуба на общност може да се разглеждат само правилни (2n+1) -ъгълници...

Защо? То, точно това е цялата работа. Ако беше дадено, че са върхове на правилен n ъгълник, то броя на остроъгълните/тъпоъгълни триъгълници се смята точно...

Защото в условието се иска съществуването на едно решение за съответното [tex]n[/tex], а не то да е изпълнено при произволно разположение на точките.

Дано намеря време в близките дни да оформя в решение идеята за броенето на тъпите и острите ъгли.

[inveidar]

Защото в условието се иска съществуването на едно решение за съответното [tex]n[/tex], а не то да е изпълнено при произволно разположение на точките.

Глуповато ми се вижда това изказване!

[pal702004]

Според мен отговорът на втората задача е -1. Не ми се удава да го обясня коректно, затова няма и да се опитвам

А според мен е [tex]-1005[/tex]. Все пак

[tex]2\sum_{i<j} a_{ij}=\left(\sum a_k\right)^2-\sum a_k^2[/tex]

[drago]

Защото в условието се иска съществуването на едно решение за съответното [tex]n[/tex], а не то да е изпълнено при произволно разположение на точките.

Дано намеря време в близките дни да оформя в решение идеята за броенето на тъпите и острите ъгли.

OK, да речем преброяваш остроъгълните триъгълници в правилния 9-ъгълник и установяваш, че те са по-малко от броя на тъпоъгълните. И какво ще следва от това? Че n=9 не може да удовлетворява задачата ли? Ами каква е гаранцията, че при някакво друго раположение на тези 9 точки, броя на тези триъгълници няма да се изравни?

[ptj]

Позовавайки се линка, който даде Драго, решение има само за 2n+1=5.Неговата задача е даже малко по-обща.

Предложения от мен вариант, имаше смисъл само ако задачата бе вярна за всеки [tex]2n+1[/tex]-ъгълник, стига съответното [tex]C_{2n+1}^3[/tex] да е четно. Иначе остава да се докаже, че при фигура "близка" до правилен (2n+1) ъгълник, броя на острите ъгли е максимален, което е точно спомената задача.

П.П. Под "близка" разбирам - да съществуват [tex]2n+1[/tex] различни диаметра, така че всяка от получените полуокръжности да съдържа точно [tex]n+1[/tex] точки ( 1 от тях е единия от край на диаметър).