Точен квадрат

[LazyWorker]

Нека a и b са цели числа, такива че числото [tex]\frac{a^{2}+b^{2}}{1+ab}[/tex] е също цяло. Да се докаже, че [tex]\frac{a^{2}+b^{2}}{1+ab}[/tex] е точен квадрат.

[pal702004]

Не цели, а естествени числа. Иначе не бих казал, че [tex]-5[/tex] е точен квадрат. Задачата е трудна, освен ако не е позната техниката "Vieta jumping".

По подобен начин може да се докаже, че ако за естествените [tex]a,b (ab\ne 1)\quad \frac{a^2+b^2}{ab-1}\in\mathbb{N}\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{ab-1}=5[/tex]

[nevrodermit]

Очевидно, условието на задачата не е коректно, понеже ако [tex]ab<0[/tex], то [tex]\frac{a^2+b^2}{1+ab}<0[/tex] и няма как да е положително, за да е точен квадрат.
Ако някое е 0, то [tex]\frac{x^2}{1}=x^2[/tex], т.е. е точен квадрат.
Ако пък [tex]a<0, b<0[/tex], то [tex]\frac{(a-)^2+(-b)^2}{1+(-a)(-b)}=\frac{a^2+b^2}{1+ab}[/tex], затова можем да считаме, че и двете са естествени числа.
Нека за някои [tex]a,b[/tex] числото [tex]\frac{a^2+b^2}{1+ab}[/tex] е естествено и равно на [tex]k[/tex]. Фиксираме това [tex]k\in \mathbb{N}[/tex]. За фиксираното [tex]k[/tex] може да имаме различни двойки решения [tex](a_i,b_i)[/tex] на уравнението [tex]\frac{a^2+b^2}{1+ab}=k[/tex]. От всички такива двойки избираме тази с най-малко [tex]a[/tex].
Уравнението е еквивалентно на [tex]a^2+b^2=k+kab\Leftrightarrow a^2-kab+b^2-k=0[/tex]. Разглеждаме квадратната функция [tex]f(x)=x^2-kxb+b^2-k[/tex]. За нея [tex]f(a)=0[/tex]. По формулите на Виет намираме, че другият корен удовлетворява [tex]a_1=kb-a=\frac{b^2-k}{a}[/tex] и той очевидно е цяло число, като разлика [tex]kb-a[/tex].
Разглеждаме три случая:
1) [tex]kb<a[/tex]. Тогава [tex]a_1<0[/tex] и тъй [tex]a_1\in \mathbb{Z}[/tex] получаваме, че [tex]\frac{k-b^2}{a}\ge 1\Rightarrow k\ge a+b^2>kb+b^2\ge k+1[/tex], което е невъзможно.
2) [tex]kb=a[/tex]. Тогава [tex]a_1=0\Rightarrow k=b^2[/tex], т.е. е точен квадрат.
3) [tex]kb>a[/tex]. Тогава [tex]a_1>0\Rightarrow \frac{b^2-k}{a}>0\Rightarrow b^2>k[/tex]. За стойността на квадратната функция в [tex]b[/tex] получаваме [tex]f(b)=b^2-kb^2+b^2-k=b^2(2-k)-k[/tex]. Ако [tex]k\ge 2[/tex], то [tex]f(b)<0[/tex]. Ако [tex]k=1[/tex], няма нужда да продължаваме изследването, понеже ако има решение [tex]1=1^2[/tex], което ни устройва, а иначе просто няма решение. Установихме, че [tex]f(b)<0[/tex]. Заради симетрията на [tex]a,b[/tex] можем да считаме, че [tex]a\ge b[/tex]. Тъй като квадратната функция е с положителен старши коефициент, получаваме [tex]a_1<b\le a[/tex]. Противоречие.

И така, за всяка тройка решения [tex](a,b,k), a\ge b[/tex] имаме [tex]k=b^2[/tex].