Ирационално уравнение-как да го решим рационално?

[vessy234]

Здравейте!Уравнението е [tex]\sqrt{x+8}[/tex] - sqrt{x} = \sqrt{2x-1} + sqrt{3x-2}.Ако решаваме по работническо-селския метод се получава 4 степен и едни големи числа.Но знам,че може да се реши например с доказателство,че графиките на функциите са растящи,понеже сме използвали този метод преди в училище.Но в тази задача не мога да го развия... Благодаря предварително за съдействието!

[monika_at]

Здравейте!Уравнението е [tex]\sqrt{x+8}[/tex] - sqrt{x} = \sqrt{2x-1} + sqrt{3x-2}.Ако решаваме по работническо-селския метод се получава 4 степен и едни големи числа.Но знам,че може да се реши например с доказателство,че графиките на функциите са растящи,понеже сме използвали този метод преди в училище.Но в тази задача не мога да го развия... Благодаря предварително за съдействието!

Принципно лявата страна е на намаляваща функция, а дясната- на растяща. Кой клас си?

[vessy234]

Аз съм 10 клас в мат.гимназия,господинът ми по мат каза,че може да се реши по по-лесен начин с намаляваща и растяща функция.Очевидно единицата е решение,но не знам как да го докажа.

[Knowledge Greedy]

[tex]\sqrt{x+8} - \sqrt{x} = \sqrt{2x-1} +\sqrt{3x-2}[/tex]

Както правилно си забелязал [tex]x=1[/tex] е корен.
Да допуснем, че уравнението има друг корен [tex]x_2>1[/tex]. Тогава
[tex]2x_2>2 \,\ \Rightarrow \,\ 2x_2-1>2-1 \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{2x_2-1}>1[/tex]
Също така
[tex]3x_2>3 \,\ \Rightarrow \,\ 3x_2-2>3-2 \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{3x_2-2}>1[/tex]
Събирайки почленно двете получени неравенства
[tex]\sqrt{2x_2-1}+\sqrt{3x_2-2}>2[/tex]

Фактът, уравнението да има корен [tex]x_2[/tex] означава, че е вярно числовото равенство [tex]\sqrt{x_2+8} - \sqrt{x_2} =\sqrt{2x_2-1}+\sqrt{3x_2-2}[/tex]
По-горе получихме, че дясната страна е по-голяма от [tex]2[/tex].
Да разгледаме лявата страна.
[tex]\sqrt{x_2+8} - \sqrt{x_2}=\frac{8}{\sqrt{x_2+8}+ \sqrt{x_2}}.[/tex]

[tex]x_2>1 \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{x_2+8}> \sqrt{1+8} \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{x_2+8}> 3[/tex]
и следователно
[tex]\sqrt{x_2+8}+\sqrt{x_2}> 4 \,\ \Rightarrow \,\ \frac{1}{\sqrt{x_2+8}+\sqrt{x_2}}<\frac{1}{4} \,\ \Rightarrow \frac{8}{\sqrt{x_2+8}+ \sqrt{x_2}}<2[/tex]
Излиза, че лявата страна е по-малка от [tex]2[/tex], при [tex]x_2>1[/tex]. Така лявата страна няма да е равна на дясната.
Аналогично, не може да има и друг корен [tex]x_2<1[/tex]. Сега лявата страна[tex]> 2 >[/tex]дясната страна.
Остава само [tex]x=1[/tex].

Това е решението със срещата на растяща и намаляваща функция. Лявата страна е намаляваща функция, дясната е растяща функция.

[ptj]

Аз съм 10 клас в мат.гимназия,господинът ми по мат каза,че може да се реши по по-лесен начин с намаляваща и растяща функция.Очевидно единицата е решение,но не знам как да го докажа.

Лявата страна на равенството:

[tex]\sqrt{x+8}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+8}-\sqrt{x})(\sqrt{x+8}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x+8})^2-(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x}}=\frac{x+8-x}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x}}=\frac{8}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x}}[/tex]

Получихме положителна константа върху строго растяща непрекъсната неотрицателна функция, която очевидно е строго намаляваща положителна непрекъсната функция.

Дясната страна (на равенството от условието) е сума от две строго растящи положителни непрекъснати функции, т.е. строго растяща положителна непрекъсната функция.

Полученото е достатъчно, за обосновката на съществуването на точно едно решение за даденото в условието равенство.

По-строго това се основа на теоремата, че всяка непрекъсната функция [tex]f[/tex] - дефинирана в интервал [tex][a;b][/tex] минава през всички точки на интервала[tex][f(a);f(b)][/tex] (или алтернативния).

Последно - показваш, че 1 е решение (заместваш и получаваш тъжедество), а "единствеността" ти гарантира, че си решила напълно задачата.

П.П. Да не забравиш първо да определиш Д.М.

[inveidar]

[tex]\sqrt{x+8} - \sqrt{x} = \sqrt{2x-1} +\sqrt{3x-2}[/tex]

Както правилно си забелязал [tex]x=1[/tex] е корен.
Да допуснем, че уравнението има друг корен [tex]x_2>1[/tex]. Тогава
[tex]2x_2>2 \,\ \Rightarrow \,\ 2x_2-1>2-1 \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{2x_2-1}>1[/tex]
Също така
[tex]3x_2>3 \,\ \Rightarrow \,\ 3x_2-2>3-2 \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{3x_2-2}>1[/tex]
Събирайки почленно двете получени неравенства
[tex]\sqrt{2x_2-1}+\sqrt{3x_2-2}>2[/tex]

Фактът, уравнението да има корен [tex]x_2[/tex] означава, че е вярно числовото равенство [tex]\sqrt{x_2+8} - \sqrt{x_2} =\sqrt{2x_2-1}+\sqrt{3x_2-2}[/tex]
По-горе получихме, че дясната страна е по-голяма от [tex]2[/tex].
Да разгледаме лявата страна.
[tex]\sqrt{x_2+8} - \sqrt{x_2}=\frac{8}{\sqrt{x_2+8}+ \sqrt{x_2}}.[/tex]

[tex]x_2>1 \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{x_2+8}> \sqrt{1+8} \,\ \Rightarrow \,\ \sqrt{x_2+8}> 3[/tex]
и следователно
[tex]\sqrt{x_2+8}+\sqrt{x_2}> 4 \,\ \Rightarrow \,\ \frac{1}{\sqrt{x_2+8}+\sqrt{x_2}}<\frac{1}{4} \,\ \Rightarrow \frac{8}{\sqrt{x_2+8}+ \sqrt{x_2}}<2[/tex]
Излиза, че лявата страна е по-малка от [tex]2[/tex], при [tex]x_2>1[/tex]. Така лявата страна няма да е равна на дясната.
Аналогично, не може да има и друг корен [tex]x_2<1[/tex]. Сега лявата страна[tex]> 2 >[/tex]дясната страна.
Остава само [tex]x=1[/tex].

Това е решението със срещата на растяща и намаляваща функция. Лявата страна е намаляваща функция, дясната е растяща функция.

Е, това в червеното е напълно излишно! Нито е доказано, че едната страна е растяща а другата намаляваща, нито пък е необходимо да се доказва от предишното изложение. Нещо не ви разбирам последно време???

[Knowledge Greedy]

Това беше напълно достатъчно.

...
Принципно лявата страна е на намаляваща функция, а дясната - на растяща. Кой клас си?

Благодаря, monika_at!
Тъй като нямам ученици, които да прилагат посочения метод - написах алгебрично решение.
Не разбрах критиката на inveidar. Да, забележката в червено, която той е подчертал в моя пост, е напълно излишна (както и неговата забележка, към моята забележка ). И толкова.
Решението над него изобщо не страда. Но не разбирам как той ще предложи решение на ученици, които не употребяват растящи и намаляващи функции!? На теория разбирам, но на практика той няма да го направи, защото и той няма такива ученици - значи няма защо.
Единствено ptj си е направил труда да пише с детайли по проблема, като най-важното е акцентът върху непрекъснатостта на участващите монотонни функции. ptj обаче предполага, че четящите поназнайват нещо за монотонните функции .

[vessy234]

Благодаря много за решенията бяха ми от полза.Ние ги решаваме общо взето като изключваме останалите случаи като х>1 и х<1 и доказваме,че само единицата е решение.

[inveidar]

Не разбрах критиката на inveidar. Да, забележката в червено, която той е подчертал в моя пост, е напълно излишна
Решението над него изобщо не страда.[/u]

Е нали и аз това казвам? След като е напълно излишно нещо, защо трябва да се пише, че това по-горе е решението с растяща и намаляваща функция? Това даже е и грешно съждение. Нали трябваше да оглеждаме по няколко пъти това, което пишем? Или пак нещо се заяждам?

[inveidar]

Иначе методът, който е изложил Knowledge Greedy, го наричаме неофициално метод на налучкването. Налучкваш единствения корен и след това доказваш, че няма други.

[Knowledge Greedy]

Аааа, не Това може да го каже само нематематик!
Няма налучкване в нашата работа.
Може да има:
- "Изброяване на всички възможни случаи".
или
- "Изключване на невъзможните случаи."
или
- "Оценяване възможното решение".
или
- "Проверка на хипотези."
Има математическа лексика, жаргон, диалект го наречи, но не профанизирай аудиторията! Част от нея това и чака .
Житейският смисъл на "налучкване" в математически аспект е много грозна дума

По-скоро тук в коментарите вече се забелязва ефекта на пълнолунието.

Пълнолуние и Суперлуние 28 sept 2015.png (60.95 KiB) Прегледано 585 пъти

Очакваното на 28 септември пълно лунно затъмнение ще бъде изключително зрелищно, тъй като за първи път от три десетилетия ще бъде в съвпадение със суперлуние – това е моментът, в който Луната се доближава най-близо до Земята. На 28 този месец Луната ще бъде необичайно ярка и голяма (увеличена с 14%), цялата обагрена в алено червено. Затъмнение, което да съвпада със суперлунието не е наблюдавано от 1982 г. Ако сега го пропуснете, то може да го наблюдавате пак през 2033 г.,

[inveidar]

Аааа, не! Това му викаме МЕТОД НА НАЛУЧКВАНЕТО. А ти си говори колкото си щеш. Пълнолуние е. Всичко ти е позволено!!! Все пак забележи, че съм написал неофициално.

[inveidar]

Аааа, не Това може да го каже само нематематик!
Няма налучкване в нашата работа.

Има, има и то доста. Но друг път ще обяснявам. Настрой си алармата за 5:10 и лягай.

[drago]

Иначе методът, който е изложил Knowledge Greedy, го наричаме неофициално метод на налучкването. Налучкваш единствения корен и след това доказваш, че няма други.

Ами да, съгласен съм. Защо трябва за нещо просто да се търсят дълбокомислени думи?! Както и да го наречеш(проби-грешки, ...) си е налучкване. И постоянно се ползва, и не само в математиката.

[Knowledge Greedy]

Законът за скачените съдове важи и за думите. Преоткриван е многократно. В по-ново време е известен и като закон на Волтер-Плеханов. Накратко:
Движението на думите е винаги от високото /като цивилизационно ниво/ към ниското.

[inveidar]

Ко, ко, ко каза?!

[inveidar]

Законът за скачените съдове важи и за думите. Преоткриван е многократно. В по-ново време е известен и като закон на Волтер-Плеханов. Накратко:
Движението на думите е винаги от високото /като цивилизационно ниво/ към ниското.

Става въпрос за чуждиците в руския език по времето на Плеханов и съпротивата на родолюбиви руски учени срещу тях, нали?
Не мога да разбера какво лошо виждаш в думата налучкване в метода на налучкването? Като налучкването не изчерпва метода. Ако напиша guesswork, ще те задоволи ли?

[monika_at]

Момчета, защо не се спрете?