Успоредни отсечки.

[ABK]

В равнината са дадени n ≥ 4 на брой успоредни отсечки. Известно е, че за всеки три отсечки съществува права линия, която пресича и трите отсечки. Да се докаже, че съществува права линия, която пресича всичките n отсечки.

[ptj]

Не е вярно.Контра пример:
За отсечките с координати
(3;1)(4;1)
(1;2)(3;2)
(0.5;3)(1.5;3)
(1;4)(2;4)
не съществува права минаваща и през 4-те, макар че за всяка 3-ка от тях има пресичаща ги права.

[ABK]

Не мога да видя правата, пресичаща едновременно (3; 1) – (4; 1), (0.5; 3) – (1.5; 3) и (1; 4) – (2; 4).

Правата y = -2x + 6 минава през (1; 4) и (1.5; 3), но не пресича (3; 1) – (4; 1), а минава през (2.5; 1).

P.S.

Това е оригиналният текст на задачата: "Let a set of parallel line segments be given in the plane. If every three of the segments can be intersected (that is met) by a straight line, then there exists a straight line intersecting all the segments (Theorem of L. A. Santalo)."

Това е задача от тема със задачи, които се решават с помощта на теорема на Helly, но не е дадено решение.

[inveidar]

Виж тук - http://www.geometry.ru/articles/protasov_helly.pdf

[drago]

Благодаря за линка, в Квант винаги е имало хубави неща, които човек да научи. Не знаех, че теорема 2 (в статията) се нарича на Минковски-Радон, макар че съм го срещал. Тук има няколко доказателства на този факт за равнината(за по-големи размерности е същото): http://artofproblemsolving.com/community/c6h520132

[ABK]

Виж тук - http://www.geometry.ru/articles/protasov_helly.pdf

Благодаря.

Според мен, (сегашен) деветокласник няма голям шанс да се справи с тази задача. Тази година на Математическите боеве в Созопол, в групата 8-9 клас имаше няколко задачи, които са директно следствие от Теоремата на Хейли.

Иначе, след запознаване с теорията задачите по-долу не бяха проблем:

Consider a family of n isothetic rectangles in the plane, that is, rectangles whose sides are vertical or horizontal, such that any two have a point in common. Prove that all n rectangles have a point in common. (Задача дадена на финала за 8-9 клас в Созопол.)

For each n, give an example of n convex sets in the plane that intersect by pairs but such that all n sets do not have a point in common. (Note. This shows that the condition that each three sets intersect in Helly’s Theorem in the plane is necessary.)

Let Ai : i = 1, 2, . . . , m be convex polygons in the Cartesian plane, such that for every two polygons Ai and Aj there is a line parallel to the x-axis which intersects them both. Prove that there is a line parallel to the x-axis which intersects all the polygons Ai.

[ptj]

Видях, че конструкцията ми не отговаря на условието.

Решението на Протасов е оригинално и едновременно нестандартно, а по тази причина според мен е нереално за откриване даже и от 12-класник, знаещ теоремата на Хейли.

[drago]

... според мен е нереално за откриване даже и от 12-класник, знаещ теоремата на Хейли.

Ами за преобладаващата част сигурно е така. Но със сигурност не за всички. И за да има повече, за които не е нереално, трябва да се четат (или им се показват) повече неща като тази статия.
Трудността тук не е че е нещо чак толкова оригинално или нестандртно, а че не е нагледно. Няма директна геометрична интерпретация за множеството от двойки (k, b) , асоциирано с всяка отсечка (пък и да има е по-полезно без нея). Трябва просто да "отлепят" и да свикнат на такива абстракции, Това става с повече упражнения в тази посока