Геометрична задача

[bounteous]

Петата H на височината от върха С в ∆АВС дели страната АВ вътрешно в отношение
АН : ВН= 2 : 1. Правата, минаваща през центъра на описаната около ∆АВС окръжност и през
медицентъра на ∆ВСН, е успоредна на АВ.
а) Да се намерят косинусите на ъглите на ∆АВС.
б) Точка М е среда на отсечката АВ и дължините на отсечките АВ, СМ и ВН са
съответно първи, втори и n-ти член на една аритметична прогресия. Да се намери n.

[Knowledge Greedy]

а)

от неделя 19 октомври.png (6.4 KiB) Прегледано 327 пъти

[tex]OM=Rcos\gamma = \frac{1}{3}CH= \frac{1}{3}asin\beta = \frac{1}{3}bsin \alpha[/tex] (Дясното равенство е излишно - синусова теорема един път е достатъчна.)
[tex]Rcos\gamma =\frac{2}{3}Rsin \alpha sin\beta[/tex]
Оттук, от [tex]180^\circ - \gamma= \alpha +\beta[/tex] и от [tex]cos(180^\circ-\gamma)=-cos\gamma[/tex], получаваме

[tex]sin\alpha sin\beta = 3cos \alpha cos \beta \,\ \,\ (\ast)[/tex]

Но по условие
[tex]AH=2BH \,\ \Rightarrow tg\beta =2tg\alpha[/tex]

С помощта на [tex](\ast)[/tex] намираме квадратите на тангенсите, а след това и това, което се търси - косинусите [tex]cos\alpha =\frac{\sqrt{10}}{5}[/tex], [tex]cos \beta =\frac{\sqrt{7}}{7}[/tex] и [tex]cos\gamma =\frac{2\sqrt{70}}{35}[/tex]

[Knowledge Greedy]

б)
Да означим [tex]AB=6c[/tex]. Тогава [tex]MC=c[/tex] и [tex]BH=2c[/tex].
От полученото в подусловие а) [tex]tg^2\alpha =\frac{2}{3}[/tex] и [tex]tg^2\beta =6[/tex] изразяваме [tex]CH=4c.\,\ tg\alpha = 4\frac{\sqrt{6}}{2}=2c\sqrt{6}[/tex]
След това с питагорова теорема [tex]CM=5c[/tex] .
(Резултатът за можеше да бъде получен и с формула за медианата.)
От аритметичната прогресия - съгласно условието [tex]6c, \,\ 5c, \,\ ..., 2c[/tex] имаме, че [tex]BH=2c[/tex] е пети по ред член.

[monika_at]

Нолидж, нещо не ми харесва решението на а). Никъде не ползваш, че имаш успоредна права.

[Nathi123]

Нолидж, нещо не ми харесва решението на а). Никъде не ползваш, че имаш успоредна права.

Използва се при доказателството,че ОМ =[tex]\frac{1}{3}CH[/tex].

[monika_at]

Мда