Теорема

[inveidar]

Да се докаже, че отсечката, съединяваща допирните точки на полувписана окръжност в триъгълник, минава през центъра на вписаната в триъгълника окръжност. (Полувписана окръжност в триъгълник е тази, която се допира до две от страните му и до описаната около триъгълника окръжност).

[inveidar]

Допирните точки са със страните на триъгълника.

[nevrodermit]

Нека допирните точки на [tex]к[/tex] със страните [tex]AC, BC[/tex] и до описаната окръжност са съответно [tex]P, Q, S[/tex] и центровете на [tex]к[/tex] и на описаната окръжност са съответно [tex]K, O[/tex]. Нека [tex]E[/tex] е средата на [tex]CB[/tex] (чертеж 1).

Имаме [tex]KQ=\rho, OE=R\cos{\alpha}, CQ=\rho\cot{\frac{\gamma}{2}}, CE=R\sin{\alpha}[/tex].
Очевидно [tex]OK=R-\rho[/tex] и тъй като [tex]OE||KQ[/tex] в трапеца [tex]OEQK[/tex] като построим перпендикуляр от [tex]K\to OE[/tex] с пета [tex]H[/tex] и разглеждаме [tex]\Delta HOK[/tex] и използваме Питагоровата теорема получаваме:

(1) [tex](R-\rho)^2=(R\cos{\alpha}-\rho)^2+(\rho\cot{\frac{\gamma}{2}}-R\sin{\alpha})^2[/tex]
Опростяваме, за да намерим [tex]\rho[/tex]:
[tex]R^2-2R\rho+\rho^2=R^2\cos^2{\alpha}+\rho^2-2R\rho\cos{\alpha}+\rho^2\cot^2{\frac{\gamma}{2}}+R^2\sin^2{\alpha}-2R\rho\cot{\frac{\gamma}{2}}\sin{\alpha}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow R^2-2R\rho=R^2\cos^2{\alpha}-2R\rho\cos{\alpha}+\rho^2\cot^2{\frac{\gamma}{2}}+R^2\sin^2{\alpha}-2R\rho\cot{\frac{\gamma}{2}}\sin{\alpha}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow R^2-2R\rho=R^2-2R\rho\cos{\alpha}+\rho^2\cot^2{\frac{\gamma}{2}}-2R\rho\cot{\frac{\gamma}{2}}\sin{\alpha}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -2R\rho=-2R\rho\cos{\alpha}+\rho^2\cot^2{\frac{\gamma}{2}}-2R\rho\cot{\frac{\gamma}{2}}\sin{\alpha}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -2R=-2R\cos{\alpha}+\rho\cot^2{\frac{\gamma}{2}}-2R\cot{\frac{\gamma}{2}}\sin{\alpha}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=2R\tan^2{\frac{\gamma}{2}}(\cos{\alpha}+\cot{\frac{\gamma}{2}}\sin{\alpha}-1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=2R\tan^2{\frac{\gamma}{2}}(2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-1+2\cot{\frac{\gamma}{2}}\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}-1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=4R\tan^2{\frac{\gamma}{2}}(\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-1+\cot{\frac{\gamma}{2}}\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=4R\tan^2{\frac{\gamma}{2}}(-\sin^2{\frac{\alpha}{2}}+\cot{\frac{\gamma}{2}}\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=4R\tan^2{\frac{\gamma}{2}}\sin{\frac{\alpha}{2}}(-\sin{\frac{\alpha}{2}}+\cot{\frac{\gamma}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=4R\tan^2{\frac{\gamma}{2}}\sin{\frac{\alpha}{2}}(-\sin{\frac{\alpha}{2}}+\frac{\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}}{\sin{\frac{\gamma}{2}}})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=4R\frac{\sin^2{\frac{\gamma}{2}}}{\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}\sin{\frac{\alpha}{2}}(-\sin{\frac{\alpha}{2}}+\frac{\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}}{\sin{\frac{\gamma}{2}}})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=4R\frac{\sin{\frac{\gamma}{2}}}{\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}\sin{\frac{\alpha}{2}}(-\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}+\cos{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=4R\frac{\sin{\frac{\gamma}{2}}}{\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{(\frac{\alpha+\gamma}{2})}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=4R\frac{\sin{\frac{\gamma}{2}}}{\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \rho=\frac{r}{\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}[/tex] (2)

Нека [tex]T[/tex] е среда на [tex]PQ[/tex]. Тък като [tex]CP, CQ[/tex] са допирателни към [tex]к[/tex], то [tex]CT\bot PQ[/tex] и значи [tex]T\in l_c[/tex].

Очевидно [tex]\angle CQT=90^o - \frac{\gamma}{2} \Rightarrow \angle PQK=\frac{\gamma}{2}\Rightarrow \cos{\frac{\gamma}{2}}=\frac{TQ}{\frac{r}{\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}}\Rightarrow TQ=\frac{r}{\cos{\frac{\gamma}{2}}}[/tex].
Сега ако спуснем перпендикуляр от [tex]T[/tex] към [tex]BC[/tex] с пета [tex]S[/tex] и разгледаме [tex]\Delta TSQ[/tex] получаваме [tex]\sin{(90^o-\frac{\gamma}{2})}=\frac{TS}{\frac{r}{\cos{\frac{\gamma}{2}}}}\Rightarrow TS=r[/tex].

Последното означава, че центърът на вписаната е върху [tex]PQ[/tex].