Тема за размисъл

[ins-]

Съществува ли триъгълник [tex]ABC[/tex] с дължини на страните цели числа, за който лицето на триъгълника [tex]I_AI_BI_C[/tex] e цяло число?
([tex]I_A[/tex], [tex]I_B[/tex], [tex]I_C[/tex] са центровете на външновписаните за [tex]ABC[/tex] окръжности)
/ Георги Казаков /

[georgi111]

Хмм няма никакъв интерес - или е скучна или прекалено лесна ...

[ins-]

или боли глава от нея

[georgi111]

От едно от равенствата тук - viewtopic.php?p=55604#p55604 по-точно номер 5):
[tex]S_{I_{a}I_{b}I_{c}}=2Rr[/tex], както и от :
[tex]S_{ABC}=\frac {abc}{4R}, r= \frac {\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}} {\sqrt{p}}[/tex], получаваме, че:
[tex]S_{I_{a}I_{b}I_{c}}=\frac {abc}{2r}=\frac {abc\sqrt{p}}{2\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}}[/tex].
Полагаме :
\begin{cases} p-a=x \\ p-b=y \\ p-c=z \\ x,y,z - цели \end{cases}
Тогава имаме : [tex]S_{I_{a}I_{b}I_{c}}=\frac {(x+y)(y+z)(z+x)\sqrt{x+y+z}}{2\sqrt{xyz}}[/tex]. Горният израз за цели стойности на [tex]x,y,z[/tex] може да приема цели стойности - достатъчно е например да поискаме :
\begin{cases} x=z \\ y= (\frac {x-2}{2})^{2} \\ x-четно, x=2t \end{cases} и получаваме:
[tex]p=x+y+z=(\frac{x+2}{2})^2[/tex],
[tex]q=xyz=(\frac{x(x-2)}{2})^2[/tex],
[tex]S_{I_{a}I_{b}I_{c}}=\frac {(t^4+2t^2+1)(t+1)}{t-1}[/tex]. Сега ако вземем [tex]t=3[/tex] имаме:
[tex]S_{I_{a}I_{b}I_{c}}=200[/tex], достигащо се при [tex]a=12,b=10,c=10[/tex]

Надявам се задачата Ви е харесала ... Следващата тема за размисъл е - да се намерят всички стойности на [tex]a,b,c-цели[/tex], за които [tex]S_{I_{a}I_{b}I_{c}} - цяло[/tex].