Условно тъждество

[monika_at]

Съмишленици, мога ли да помоля за една задача?
Да се докаже, че ако [tex]x+y+z=1[/tex] и [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0[/tex], то е в сила

[tex]\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1[/tex]

[grav]

Това има ли допълнителни условия? Така както е написано изглежда, че не е вярно.

[Knowledge Greedy]

За реални числа не е вярно, но за комплексни е.

[grav]

За реални числа не е вярно, но за комплексни е.

Значи има реални числа [tex]x, y, z[/tex], за които първите две равенства са изпълнени, а третото не е. Докато за всяка тройка комплесни числа [tex]x, y, z[/tex] ако първите две равенства са изпълнени, то и третото е изпълнено. Как става тоя номер!

[pal702004]

Не е вярно тъждеството. Вярно е [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex]. Ясно защо.

Така както е написано, и трите условия удовлетворява само една тройка [tex](-1,1-i,1+i)[/tex] - корените на уравнението [tex]t^3-t^2+2=0[/tex]

Числата са корени на уравнението [tex]t^3-t^2-a=0[/tex], и трите са реални при [tex]a\in \left(-\frac{4}{27};0\right)[/tex]
В граничният случай, например, решения са [tex]\left(-\frac 1 3;\frac 2 3;\frac 2 3\right)[/tex]. Тогава [tex]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{27}{2}[/tex]

[pal702004]

Да се докаже, че ако [tex]x+y+z=1[/tex] и [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0[/tex], то е в сила

[tex]\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1[/tex]

По-скоро условието е [tex]x+y+z=0[/tex] и [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1[/tex]

Тогава е вярно.

[monika_at]

Благодаря ви. Пал, и аз си мислех, че е грешно условието.

[Knowledge Greedy]

Вчера отново се сблъсках с проблема, който постави monika_at преди месец. Ето подробно какво излиза - да го имаме в БД .
[tex]x+y+z=1[/tex]
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/tex]
От второто дадено условие получаваме важно следствие [tex]xy+yz+zx=0 \,\ (\ast)[/tex]
Отново от второто условие
[tex]\frac{1}{z}=- \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac{1}{z}=-\frac{x+y}{xy} \Leftrightarrow \,\ z=-\frac{xy}{x+y}[/tex]
Заместваме в първото дадено условие
[tex]x+y-\frac{xy}{x+y}=1[/tex]
То е равносилно на
[tex]\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}=1 \,\ \Leftrightarrow\,\ x^2+xy+y^2 =x+y[/tex]
Аналогично получаваме [tex]\,\ y^2+yz+z^2=y+z[/tex]
също и третото от този вид [tex]\,\ z^2+zx+x^2=z+x[/tex]

Събираме почленно трите [tex]2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx=2(x+y+z)[/tex]
спускаме резултата [tex]\,\ (\ast)[/tex] в лявата страна, а за скобите вдясно използваме първото дадено условие:
[tex]2(x^2+y^2+z^2)+0=2.1[/tex]
и получаваме
[tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex]
___________
Да заменим [tex]x, \,\ y[/tex] и [tex]z[/tex] с реципрочните им. Ще е вярно следното условно тъждество:
Ако [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/tex] и [tex]x+y+z=0[/tex], то [tex]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1[/tex]

[monika_at]

Страшен си Благодаря

[grav]

Вчера отново се сблъсках с проблема, който постави monika_at преди месец. Ето подробно какво излиза - да го имаме в БД .
[tex]x+y+z=1[/tex]
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0[/tex]
От второто дадено условие получаваме важно следствие [tex]xy+yz+zx=0 \,\ (\ast)[/tex]

[tex](x+y+z)^2=1^2[/tex]
[tex]x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ето развитие на темата.
Ако [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex] и [tex]\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0[/tex], то [tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/tex]

[ins-]

Много добра задача!

Скрит текст: покажи

[tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
[tex]=> (\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})^2=1[/tex]
[tex]=> \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1[/tex]
[tex]=>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2xyz/abc(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z})=1[/tex]
но [tex]\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0[/tex]
[tex]=> \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/tex]

Реших и аз да доразвия темата.

Нека [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] са реални, различни от 0 числа, за които:
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1[/tex],
[tex]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1[/tex].
Да се определи числовата стойност на израза:
[tex]x+y+z[/tex].

[Евва]

За задачата пратена на 07.март 2016 г. получавам отговор 0 .

[Гост]

Отговорът е 0.

[Евва]

( 7 март 2 016 г. )

[tex]( \frac{1}{х} + \frac{1}{у} + \frac{1}{z} ) ^{2}[/tex]=( [tex]\frac{1}{ x^{2} } + \frac{1}{ y^{2} } +\frac{1}{ z^{2} }[/tex] ) +2.[tex]\frac{1}{xy}[/tex]+2.[tex]\frac{1}{xz}[/tex]+2.[tex]\frac{1}{yz}[/tex]

1=1 +2([tex]\frac{1}{xy}[/tex]+[tex]\frac{1}{xz}[/tex]+[tex]\frac{1}{yz}[/tex])

2.[tex]\frac{z+y+x}{xyz}[/tex]=0

x+y+z=0