Прав кръгов конус

[lolita133]

1. Равнобедрен триъгълник се върти около височината си. Намерете страните на този триъгълник, ако периметърът му е 30 см, а пълната повърхнина на полученото ротационно тяло е -60п см2











Много ще съм благодарна, ако някой успее да ми помогне.

[mail_dinko]

Задачата е приятна като цяло.
Чертаем си равнобедрен [tex]\Delta ABC[/tex]. Означаваме [tex]AC=BC = a[/tex] и [tex]AB =c[/tex]. Построяваме [tex]CH = h _{AB}= m {AB} \Rightarrow AH = BH = \frac {c}{2}[/tex].
Триъгълникът се върти около височината си, следователно полученият конус има образувателна бедрото и основа кръг с диаметър основата на равнобедрения триъгълник.
Дадено е, че обиколката на триъгълника е 30 см. Лицето на пълната повърхнина е [tex]S_1 = 60 \pi cm^2[/tex].
[tex]P=2a+c=30[/tex]
Означаваме с [tex]S[/tex] околната повърхнина и с [tex]B[/tex] лицето на основата.
[tex]S_1 = 60 \pi = S + B = \pi \frac {c}{2} a + \pi ( \frac {c}{2} ) ^ 2 = \pi ( \frac {c}{2} a + \frac {c^2}{4} )[/tex]
[tex]60 \cancel {\pi } = \cancel { \pi } ( \frac {c}{2} a + \frac {c^2}{4} )[/tex]
[tex]60= \frac {c}{2} a + \frac {c^2}{4} |. 4[/tex]
[tex]240= 2ac+c^2[/tex]
Правим си система
[tex]\begin{array}{|l} 240= 2ac+c^2 \\ 2a+c=30 \rightarrow \fbox {c=30-2a} \end{array}[/tex]
[tex]240=2ac+c^2 \Leftrightarrow 240= 2a(30-2a)+(30-2a)^2[/tex]
[tex]240=60a \cancel {- 4a^2} +900-120a \cancel {+4a^2}[/tex]
[tex]240-900=60a-120a \Leftrightarrow 60a=660 |:60 \rightarrow[/tex] [tex]\fbox { a=11}[/tex]
[tex]c=30-2a = 30 - 2.11=30-22=8 \rightarrow[/tex] [tex]\fbox { c=8}[/tex]