Съвпадащи медицентрове

[ins-]

Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex]. Върху страните му външно са построени подобни триъгълници [tex]ABK[/tex], [tex]BCL[/tex], [tex]CAM[/tex] (като [tex]AB:BC:CA=KA:LB:MC[/tex]). Да се докаже, че медицентровете на [tex]ABC[/tex] и [tex]KLM[/tex] съвпадат.

Скрит текст: покажи

Задачата със сигурност допуска повече от 1 решение. Интересно ми е да видя решение без комплексни числа. Източник: НОМ 1974-та.

[ptj]

С вектори е елементарна:-)

[Knowledge Greedy]

ptj, натисни на СКРИТ ТЕКСТ: ПОКАЖИ - под условието.
ins- иска нещо друго.

[ptj]

Решението с вектори няма нищо общо с комплексните числа.
Ако [tex]G[/tex] е медицентъра на [tex]\Delta ABC[/tex], то (*) [tex]\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0[/tex]

[tex]AB:BC:CA=AK:BL:CM[/tex], oсвен това [tex]\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec 0[/tex], тогава използвайки че ротацията е еднаквост (запазва разстоянията), намираме
(**) [tex]\vec{AK}+\vec{BL}+\vec{CM}=\vec 0[/tex] (нулевия вектор както и да го въртим си остава пак нулев вектор).

Сумирайки (*) и (**) намираме [tex]\vec{GK}+\vec{GL}+\vec{GM}=\vec 0[/tex]

[ptj]

Всъщност основната част на решението ми използва факта, че произведението на две еднаквости също е еднаквост, а самата операция -комутативна.
Всеки вектор може условно да се разглежда като транлация от неговото начало до неговия край. Тогава в произведението на 3 транслации и 1 ротация без загуба на общност може да оставим ротацията последна, т.е. първо да съберем 3-те вектора, а накрая да рутираме резултата.

[Knowledge Greedy]

Уважаеми колега ptj, позволете ми да не се съглася с това категорично мнение.

Решението с вектори няма нищо общо с комплексните числа. ...

Добре известно е, че между структурата на комплексните числа и тази на векторите в равнината съществува изоморфизъм.
За останалите слушатели това представлява нещо като два диалекта на един и същи език.
Едно и също нещо, показано с различни изразни средства.

[ptj]

Имах предвид, че не се използва комплексна алгебра и може да бъде разбрано от 9-то класник.

[drago]

ptj, натисни на СКРИТ ТЕКСТ: ПОКАЖИ - под условието.
ins- иска нещо друго.

Ами дали знае точно какво иска?
Ето ТУК са му дали решение без комплексни числа, той казва че може и с комплексни.
В настоящия форум иска пък без комплексни числа, и такова му е дадено. Това, което прави ptj е известно като въртене на вектори. По същество такова е и решението в art-a, макар че аз го предпочитам във формата даден тук.

Добре известно е, че между структурата на комплексните числа и тази на векторите в равнината съществува изоморфизъм.

Интересно какъв е този изоморфизъм и как запазва операцията умножение. Доколкото знам при векторите има 2 типа операции "умножение": скаларно и векторно. И двете не стават за изоморфизъм с комплексните числа.
Ясно е че аналогия има , но не е изоморфизъм. Комплексните числа са поле, векторите- не.

[ins-]

Исках да видя решение, което да е максимално елементарно. В другия форум съм споменал, че има решение с комплексни числа за пълнота.

[drago]

По-елементрани и прости от тези 2 предложени решения няма. Накъде повече- виж ги само, два реда са буквално.

[ins-]

Че са кратки и разбираеми - така е, стига човек да знае комплексни числа и/или вектори. В определени училища преди години комплексните числа не се и споменаваха, а векторите бяха само загатнати. Това беше причината да пусна задачата на различни места. Може да има решения и без вектори и комплексни числа, но те вероятно ще бъдат усложнени или трудни за измисляне.

[drago]

Трябва ли да ме интересува какво се учи по разни училища, за да мога да преценя кое е просто, красиво, елегантно; кое да ми харесва и кое не?

[ins-]

Всичко е относително и въпрос на вкус.