Real solution of algebraic equation

[man111]

The number of all real solution [tex](x,y)[/tex] of the equation [tex]16x^4+y^4+8x^2-2y^2-24xy+8=0[/tex]

[Knowledge Greedy]

Може би въпросът за целите решения ще е по-интересен, реалните са безбройно много.

[ptj]

Според wolframalfa се разпада на две симетрични затворени криви. Kaто имаме техните данни, може лесно да докажем, че за целочислените точките извън съответния диапазон задачата няма решение.

[nevrodermit]

In $\mathbb{Z}$:

$(16x^4+8x^2+1)+(y^4-2y^2+1)-24xy+6=0$
$(4x^2+1)^2+(y^2-1)^2=24xy-6$

Taking module 3 we need both $(4x^2+1), (y^2-1)^2$ to be zero module 3 - because the RHS i divisible by $3$ and so must the LHS which is a sum of two squares and since $a^2 \in \{0,1\} \pmod 3$ we need both to be zero.
Note that $(4x^2+1)^2 \equiv 1 \pmod 3 \forall x$
So no integer solutions.