Друга система

[ins-]

Да се реши (в реални числа) системата:
[tex]x^2+3xy+y^2-8x-7y+6=0[/tex]
[tex]2x^2+4xy+3y^2-12x-16y+13=0[/tex]

[Alex98]

Полагаме [tex]x=p+1 ; y=q+2[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x^2+3xy+y^2-8x-7y+6=0 \\ 2x^2+4xy+3y^2-12x-16y+13=0 \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} p^2+2p+1+3pq+6p+3q+6+q^2+4q+4-8p-8-7q-14+6=0 \\2p^2+4p+2+4pq+8p+4q+8+3q^2+12q+12-12p-12-16q-32+13 \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} p^2+3pq+q^2-5=0 \\ 2p^2+4pq+3q^2-9=0 \end{array}[/tex]
Умножаваме първото с 9 второто 5 и изваждаме
[tex]p^2-7pq+6q^2=0[/tex] , което е хомогенно уравнение
[tex](p-6q)(p-q)=0[/tex]

Нека [tex]p=q \Rightarrow 5p^2=5 \Rightarrow p=q=\pm 1[/tex], от тук намираме 2 двойки решения за [tex]x,y[/tex]
[tex](x,y)=(2,3);(0,1)[/tex]

Нека [tex]p=6q \Rightarrow 55q^2=5 \Rightarrow q=\pm \frac{\sqrt{11}}{11} \Rightarrow p=\pm \frac{6\sqrt{11}}{11}[/tex], от тук намираме 2 двойки решения за [tex]x,y[/tex]
[tex](x,y)=(\frac{11+6\sqrt{11}}{11},\frac{22+\sqrt{11}}{11});(\frac{11-6\sqrt{11}}{11},\frac{22-\sqrt{11}}{11})[/tex]

[ins-]

Точно това ми беше идеята. Опитвах се да измисля максимално общ метод за решаване на подобни системи. Интересно ми е кога посоченият метод не работи и има ли други начини за решаването на системи, подобни на тази.

[inveidar]

Ясно е, че няма да работи, когато полагането не превръща и двете уравнения във вида хомогенен многочлен равен на число. Тази система е нагласена така, че едно и също полагане да действа и за двете уравнения. Нали така си я измислил? Или не?

[pipi langstrump]

Това са криви от втора степен. Според теорията има три вида такива криви (и разни частни случаи), за които има универсален метод за канонизация. След съответните преобразувания ще се получи една проста система, в която неизвестните участват само на втора степен.

[ins-]

Тази система е измислена, така че да се преобразува в 2 уравнения, които след това да дадат хомогенно. Ако центровете на кривите съвпадат метода винаги работи, поне за подобните системи, които открих в сборниците. Прави се следното за тях. Взимат се коефициентите пред [tex]x^2[/tex], [tex]xy[/tex], [tex]y^2[/tex] в едно от уравненията. Нека са [tex]u[/tex], [tex]v[/tex], [tex]w[/tex]. Прави се израз от вида [tex]u(x-a)^2+v(x-a)(x-b)+w(x-b)^2[/tex]. След разкриване на скобите получаваме система с неизвестни [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] за коефициентите пред [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex]. Така би могло да се стигне до полагането, което Alex98 прави.

[grav]

Това са криви от втора степен. Според теорията има три вида такива криви (и разни частни случаи), за които има универсален метод за канонизация. След съответните преобразувания ще се получи една проста система, в която неизвестните участват само на втора степен.

Samo ako mogat da se kanonizirat ednovremenno.