Правоъгълен триъгълник и външновписани окръжности

[ins-]

Да се докаже, че за правоъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex] ([tex]\angle{C}[/tex] е прав) с радиуси на външновписаните окръжности [tex]r_a[/tex], [tex]r_b[/tex], [tex]r_c[/tex] е в сила равенството: [tex](r_a-r_c)^2+(r_b-r_c)^2=(r_a+r_b)^2[/tex].

[Nathi123]

Нека O[tex]_{1 },O_{2 },O_{3 }[/tex] са центровете на окръжности съответно с радиуси [tex]r_{a },r_{b },r_{c }.[/tex]. Ако М и Р са допирните точки на продълженията на катетите с външно вписаната окръжност ,лесно се доказва,че CM = CP = [tex]\frac{1}{2}( a + b + c) = p[/tex] От триъг. С[tex]O_{3 }M \Rightarrow r_{c }= CM = p ( \angle MCO_{3 }= 45^\circ, \angle O_{3 }MC = 90^\circ )[/tex] С аналог. разсъждения се доказва,че [tex]\frac{r_{a }}{p}=tg\frac{\alpha}{2}, r_{c }= p \Rightarrow \frac{r_{a }}{r_{c }}=tg\frac{\alpha}{2} ; \frac{r_{b }}{r_{c }} = tg( 45^\circ - \frac{\alpha} {2}) = \frac{1-tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg\frac{\alpha}{2}}[/tex].
Равенството [tex]( r_{a } - r_{c })^{2} + ( r_{b } - r_{c })^{2} = ( r_{a } + r_{b})^{2} \Leftrightarrow r_{c }^{2}(\frac{r_{a }}{r_{c } }-1)^{2} + r_{c }^{2}(\frac{r_{b }}{r_{c } }-1)^{2} = ( r_{a } + r_{b})^{2}\Leftrightarrow (\frac{r_{a }}{r_{c } }-1)^{2}+(\frac{r_{b }}{r_{c } }-1)^{2}=(\frac{r_{a }}{r_{c }}+ \frac{r_{b }}{r_{c }})^{2} \Leftrightarrow (tg\frac{\alpha}{2}-1)^{2}+ ( \frac{-2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg\frac{\alpha}{2}})^{2}=(\frac{tg^{2}\frac{\alpha}{2}+1}{tg\frac{\alpha}{2}+1})^{2}[/tex] Последното равенство се доказва,че е изпълнено,ако например разкрием скобите в лявата страна.

[ins-]

Вярно е и обратното твърдение, а също, че [tex]r_ar_b=rr_c[/tex].

[Nathi123]

Да обратното твърдение е вярно ,защото [tex](r_{a }-r_{c })^{2} + (r_{b }-r_{c })^{2} = (r_{a } + r_{b })^{2} \Rightarrow r_{c }^{2}-r_{a }r_{c }-r_{b }r_{c }=r_{a }r_{b } /: p^{2}[/tex]. За произволен триъг.[tex]\frac{r_{c }}{p} = tg\frac{\gamma}{2} ; \frac{r_{a }}{p}=tg\frac{\alpha}{2}; \frac{r_{b }}{p}=tg\frac{\beta}{2}\Rightarrow tg^{2}\frac{\gamma}{2}-tg\frac{\gamma}{2}tg\frac{\alpha}{2}-tg\frac{\gamma}{2}tg\frac{\beta}{2}=tg\frac{\alpha}{2}tg\frac{\beta}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow tg^{2}\frac{\gamma}{2} = tg\frac{\alpha}{2}tg\frac{\beta}{2} + tg\frac{\gamma}{2}(tg\frac{\alpha}{2} + tg\frac{\beta}{2})[/tex]
и от [tex]tg\frac{\alpha}{2} + tg\frac{\beta}{2} = cotg\frac{\gamma}{2}(1 - tg\frac{\alpha}{2} tg\frac{\beta}{2}) \Rightarrow tg^{2}\frac{\gamma}{2}=1 \Rightarrow tg\frac{\gamma}{2} =1[/tex] ( [tex]\gamma е[/tex] ъгъл в триъг.)[tex]\Rightarrow \frac{\gamma}{2} = 45^\circ \Rightarrow \gamma = 90^\circ[/tex].

[ins-]

Има и друг интересен момент: [tex]r_c-r_a=b[/tex], [tex]r_c-r_b=a[/tex], [tex]r_a+r_b=c[/tex], a тук има други подобни: http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf