[9. клас] Триъгълник с дадени r и R, да се намерят страните.

[Davids]

Добър ден, имам следната задача и се чудех дали е възможно да се реши със сух материал от девети клас до момента, което ще рече без формулата на Ойлер и тригонометрия, а с метрични зависимости в триъгълника и подобие.

Даден е равнобедрен триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex], за който знаем че радиусът на вписаната окръжност е r = 12cm, а радиусът на описаната е R = 25cm. Да се намерят страните на триъгълника.

Какво успях да направя:
За чертежа по принцип да се знае, че y = b (бедрото), а x = [tex]\frac{1}{2}a[/tex] (половината от основата)

13219689_935639019888522_2124164940_n.jpg (50.15 KiB) Прегледано 642 пъти

1. След като построих височината h и обозначих двата центъра на окръжностите на нея, я изразих [tex]h = \sqrt{y^{2} - x^{2}}[/tex]
2. Построих радиус на вписаната окръжност към бедрото и получих първото уравнение:
[tex]\frac{12}{x} = \frac{h - 12}{y} \Leftrightarrow 12y = x(h-12)[/tex]
3. От двете формули за лице [tex]S = p.r = 12p[/tex] и [tex]S = \frac{abc}{4R} = \frac{abc}{100}[/tex] изведох второ уравнение:
[tex]600(x+y) = y^{2}x[/tex]
4. След като вкарах двете в система и заместих от едното в другото (след нужните преобразувания заместих и h със съответната стойност), достигнах до хомогенното уравнение:
[tex]50\sqrt{y^{2} - x^{2}} = y^{2} \Leftrightarrow y^{4} - 2500y^{2} + 2500x^{2} = 0[/tex]
След което съответно се изчерпвам със знанията за девети клас към момента (т.е. методи други има много и по-лесни, но искам така )
5. До същия вид достигнах съответно след това много по-бързо и като продължих височината в триъгълника докато стане диаметър на описаната окръжност с дължина 50cm и изразих метричната зависимост между двете хорди (страната a = 2x и диаметърът d = h + (50 - h)):
[tex]x^{2} = h(50 - h) \Leftrightarrow 50\sqrt{y^{2} - x^{2}} = y^{2} \Leftrightarrow y^{4} - 2500y^{2} + 2500x^{2} = 0[/tex]
6. Оттук мога да изразя и [tex]x = \frac{y\sqrt{2500 - y^{2}}}{50}[/tex], но където и да го заместя сметките стават извънземни и по пътя на логиката би трябвало всичко да се съкрати накрая...
7. Следователно дотук се изчерпвам, а някак си въобще не ми се отдава да го реша този хомоген...
Имате ли някакви идеи за някакъв друг подход с материал като този (и най-важното, без тригонометрия! ) или може ли да се реши някак съответното хомогенно уравнение? Благодаря!

П.С.: С формулата на Ойлер много лесно се намира разстоянието между двата центъра (OI = 5cm), откъдето вече с две питагорови теореми се намират и страните ([tex]a = 2x = 2.4\sqrt{21} = 8\sqrt{21}[/tex] и [tex]b = 10\sqrt{21}[/tex]), но идеята е да си спестим това улеснение от десети клас xD

[pal702004]

$R=\frac{2ab^2}{4ah}=\frac{b^2}{2h}=25$

$r=\frac{ah}{a+b}=12$

$\frac{R}{r}=\frac{b^2(a+b)}{2ah^2}=\frac{b^2}{2a(b-a)}=\frac{25}{12}$ (тъй като $h^2=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$)

$6b^2=25a(b-a)$
Уравнението е еднородно, тоест, можем да разделим на $a^2$ и да получим квадратно относително $\frac{b}{a}$

С две решения: $\frac b a=\frac 5 3,\;\frac b a=\frac 5 2$

1)$b=\frac 5 3 a$

$r=\frac{ah}{a+\frac 5 3 a}=12 \Rightarrow h=32$

и т.н получават се две решения: $a=24,b=40$ и $a=4\sqrt{21},b=10\sqrt{21}$

[Davids]

Ах, как не се бях сетил да си изразв лицето с класическата формула [tex]\frac{ah}{2}[/tex]... Благодаря много!