Максимална сума

[estoyanovvd]

Задачата съм я пускал май и в стария форум, но никой не ми помогна.
Известно е, че точката от вътрешността или контура на изпъкнал петоъгълник, за която сумата от разстоянията и до върховете на петоъгълника е максимална, съвпада с връх на петоъгълника. За съжаление доказателството е с не елементарни методи.
Докажете твърдението по елементарен начин, без математически анализ. Аз лично не мога.

[estoyanovvd]

Няма ли кой да ми помогне за тази задача? Трябва ми спешно!!! Преди да се пенсионирам!!!

[ganka simeonova]

Стоянов, престани да се правиш на ...
Мислим по въпроса, поне аз.
Дано я реша, преди аз да се пенсионирам. Все пак имам преднина от 10 години (шегичка).

[drago]

Здравейте. приятели, и за много години!
Надявам се не си се пенсионирал още (майтап бе Уили )
Като се рових малко безцелно, следновогодишно, в разни стари теми, попаднах на това.
Не знам какво решение си виждал, според мен най-лесното е с идеята, че сумата от разстоянията от X до съвкупност от фиксирани точки е изпъкнала като функция на X и ако търсим максимума и в/у някаво множество то обезателно се достига в/у "крайни" точки.
Ако някой има съмнения че това не е достатъчно елементарно, веднага го правим като за петокласници(или когато се учат успоредници и неравенстото на триъгълника)..
Ако [tex]A_1, A_2, ..., A_n[/tex]са върховете на изпъкнал n-ъгъълник (петоъгълник) вътрешността с контура ги означаваме с M, X e точка в равнината му с [tex]Q(X)[/tex] означаваме [tex]|XA_1|+|XA_2|+...+|XA_n|[/tex]. нека сега X е среда на някаква отсечка YZ.
Tогава [tex]|A_iX| < 1/2(|A_iY|+|A_iZ|)[/tex]. Като сумираме по i =>[tex](1): Q(X)<1/2(Q(Y)+Q(Z))[/tex]. Сега да допуснем че максимума на Q(X) в/у n-ъгълника M се достига в някаква точка [tex]X_0[/tex] от него. Ако допуснем, че съществуват [tex]Y_0, Z_0 \in M[/tex]така че [tex]X_0[/tex] e среда на [tex]Y_0Z_0[/tex]ще достигнем до противоречие с (1). Това означава, че [tex]X_0[/tex] съвпада с някой връх на M.

[ins-]

За много години!
Както си се засилил можеш да пробваш и тази:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=369459
За момента не мога да я реша и не ме е срам да си призная.
С най-добри пожелания за всички посетители на форума през 2011.

[inveidar]

Ако някой има съмнения че това не е достатъчно елементарно, веднага го правим като за петокласници(или когато се учат успоредници и неравенстото на триъгълника)..
Ако [tex]A_1, A_2, ..., A_n[/tex]са върховете на изпъкнал n-ъгъълник (петоъгълник) вътрешността с контура ги означаваме с M, X e точка в равнината му с [tex]Q(X)[/tex] означаваме [tex]|XA_1|+|XA_2|+...+|XA_n|[/tex]. нека сега X е среда на някаква отсечка YZ.
Tогава [tex]|A_iX| < 1/2(|A_iY|+|A_iZ|)[/tex]. Като сумираме по i =>[tex](1): Q(X)<1/2(Q(Y)+Q(Z))[/tex]. Сега да допуснем че максимума на Q(X) в/у n-ъгълника M се достига в някаква точка [tex]X_0[/tex] от него. Ако допуснем, че съществуват [tex]Y_0, Z_0 \in M[/tex]така че [tex]X_0[/tex] e среда на [tex]Y_0Z_0[/tex]ще достигнем до противоречие с (1). Това означава, че [tex]X_0[/tex] съвпада с някой връх на M.

Единствено остана по елементарен начин да се докаже, че този максимум все пак се достига във вътрешността или по контура! От това, което си написал е ясно, че ако го има, той е във връх. Как да докажем, обаче по елементарен начин, без граници, че максимумът все пак се достига. Това е последното, което трябва да се изчисти, нали?

[allier]

Това, което остава да се докаже, е че сумата е ограничена (тогава максимум съществува) - което е очевидно - сумата е винаги по-малка или равна от пет пъти диаметъра на фигурата. Така че имаме ограничена непрекъсната функция, дефинирана върху компактно множество.

[inveidar]

Това е ясно. Под елементарен начин имам впредвид без математически анализ.

[ptj]

Една идейка:

Ако успеете да намерите геометричното място на точките, чиято сума до върховете на петоъгълника е константа, може би ще успеете да решите задачата с елементарни средства.

[allier]

Всъщност, очевидно е. Доказано е, че за всяка вътрешна точка, съществува връх, който дава по голяма сума. Освен това имаме само 5 върха т.е. всички суми са по-малки или равни на най-голямата от 5-те върхови суми и равенство се достига, когато точката съвпада с този връх.

[inveidar]

Не е доказано, че за всяка вътрешна точка има връх, който има по-голяма сума. Доказано е, че максимумът не може да е във вътрешна точка, ако го има. Но не е доказано, че го има!

[allier]

Всъщност по това написано по-горе от drago, си прав. Ето какво трябва да е разсъждението.

Върху каквато и да е отсечка (не е нужно да е среда) в единия от крайщата имаме по-голяма сума. Това е очевидно - ако да кажем точката дели отсечката в отношение [tex]\lambda[/tex], то от вектори и от неравенството на триъгълника следва, че [tex]|\vec{OX}|=|\lambda\vec{OA}+(1-\lambda)\vec{OB}|\le \lambda|\vec{OA}|+(1-\lambda)|\vec{OB}|[/tex]. Оттук следва, че е невъзможно и OA и OB да са по-малки от OX.

Нека е дадена точка X във вътрешността и нека P е произволен връх на петоъгълника. Нека PX пресича за втори път контура на петоъгълника в точка Y. Ако Y е връх, то твърдението следва веднага от това по-горе. Ако Y не е връх, то той лежи на страна на петоъгълника, ZT. Тогава сумата за точка X е по-малка или равна на поне една от сумите за точки P, Z, T, които са и върхове (тъй като P лежи на XY, а пък Y лежи на ZT).

[inveidar]

Дааааа. Това вече оправя нещата!!! Благодаря ви и на двамата, drago и allier!!!

[drago]

Ако се замислим,най-абстрактно: кое е онова, което гарантира, че максимума ще се достига в някоя крайна точка(връх),
то това са 2 неща:
1) функцията разстояние до точка(точки) е изпъкнала.
2) всяка точка от многоъгълника се представя като изпъкнала комбинация от върховете му.
Най-общо, ако [tex]X[/tex] е линейно пространство, [tex]a_1, a_2,...,a_n \in X.[/tex]
M изпъкнала обвивка на тези точки т.е.[tex]M=\{x\in X|\exists p_i,i=1...n, 0 \le p_i \le 1, \sum_{i=1}^{n} p_i = 1; x=\sum_{i=1}^{n} p_i a_i.\}[/tex]
F изпъкнала реалнозначна ф-я в [tex]M[/tex], т.е. [tex]\forall x_1,...,x_k \in M, \forall p_1,...,p_k 0 \le p_i \le 1,\sum_{i=1}^{k} p_i =1 \Rightarrow F(\sum_{i=1}^{k} p_ix_i)\le \sum_{i=1}^{k} p_iF(x_i).[/tex]
(Достатъчно е само за k=2)
Тогава максимума на F в/у M се достига в някоя от точките [tex]a_1,...,a_n.[/tex]
Доказателство:
От [tex]x\in M \Rightarrow x=\sum_{i=1}^{n} p_i a_i \Rightarrow F(x) \le \sum_{i=1}^{n} p_i F(a_i) \le \sum_{i=1}^{n} p_i(max \{F(a_i)|i=1...n\})=max\{ F(a_i)|i=1...n\}.[/tex]

Ами това е. За конкретния случай: [tex]X = R^2[/tex], точките са 5, многоъгълника е тяхната изпъкнала обвивка. Че сумата от разстоянията е изпъкнала се проверява с лека модификация на моите писания със средите (както е при allier) или пък съобразяваме, че е сума от няколко изпъкнали ф-ии(разстоянито до една точка е конус).
Прищя ми се това да го адаптирам така че да стане съвсем просто, като остане основната идея - само със средите.
По този начин обаче, обосновката, че max се достига трябва да се прави с теоремата на Вайерщрас или на доверие .
Задачата може да се обобщи още като разстоянието до точка се замени с някоя изпъкнала ф-я на една променлива от него.