Задача от окръжности

[ins-]

Две окръжности с радиуси [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex] ([tex]R \gt r[/tex]) се допират до права [tex]p[/tex] в точка [tex]C[/tex] и са разположени от една и съща страна на [tex]p[/tex]. Права, успоредна на [tex]p[/tex] пресича двете окръжности в точки [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex], намиращи се от една и съща страна на централата на двете окръжности. Да се намери радиуса на окръжността, описана около триъгълника [tex]ABC[/tex].

[KOPMOPAH]

$\sqrt {R r}$, ама бая писане е доказателството

[Davids]

$\sqrt {R r}$, ама бая писане е доказателството

А само на мен ли ми се струва, че тази успоредна права през окръжностите е доста неопределена и стойността на отговора зависи от това, откъдe точно ще я прекараме? При теб лично как е, би ли споделил, че аз нещо изпускам явно... През някой център, нещо?

[KOPMOPAH]

Отбелязваме пресечените точки на централата с малката и голямата окръжност съответно с $D$ и $E$, $CB=a$, $CA=b$ и разстоянието межу успоредните прави - с $h$. Триъгълниците $\triangle BCD$ и $\triangle ACE$ са правоъгълни, следователно $b^2=h.2r$ и $a^2=h.2R$. Изразяваме лицето на $\triangle ABC$ чрез търсения радиус и чрез $h$: $\frac{abc}{4R_x}=\frac{c.h}{2} \Rightarrow \frac{ab\cancel{c}}{4R_x}=\frac{\cancel{c}.h}{2} \Rightarrow R_x=\frac{ab}{2h} = \frac{\sqrt{h.2r}\sqrt{h.2R}}{2h}... = \sqrt{Rr}$

[ins-]

Това е последната задача от олимпиада /общински кръг/ през 1959-1960-та година, дето имаше смисъл да пусна. Не е трудна, но ако човек не внимава може да не се оправи.