Задача за стълба

[ins-]

Стълба се опира с единия си край на улица, а с другия - на стената на къща с височина 11 м. Стълбата се завърта около долния си край на ъгъл [tex]60^o[/tex] и се обляга на срещуположната къща. Да се намерят дължината на стълбата и височината, на която тя се е облегнала, ако ширината на улицата е [tex]7\sqrt3[/tex] м.

[Davids]

Ето чертежчето

stulbata.png (15.25 KiB) Прегледано 1677 пъти

Стълбата е означена с [tex]a[/tex], а търсеното друго разстояние - с [tex]y[/tex].
Моята идея представлява система от три питагорови теореми, като дори и допълнително уравнение можем да извлечем от факта, че:
[tex]S_{HGCF} = S_{ABC} + S_{HBA} + S_{BGC} + S_{ACF}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 77\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{11x}{2} + \frac{y(7\sqrt{3} - x)}{2} + \frac{7\sqrt{3}(11-y)}{2}[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]a^2\sqrt{3} + 2x(22-y) = 154\sqrt{3}[/tex]
Може и да съм объркал, писах го набързо. Но идеята е ясна
И цялостната система изглежда така:
[tex]\begin{array}{|l} a^2\sqrt{3} + 2x(22-y) = 154\sqrt{3} \\ a^2 = x^2 + 11^2 \\ a^2 = (7\sqrt{3} - x)^2 + y^2 \\ a^2 = (7\sqrt{3})^2 + (11-y)^2 \end{array}[/tex]

Четири уравнения за три променливи, предполагам трябва да доведе до нещо. Сега не мога да смятам, че бързам, но исках да споделя

[KOPMOPAH]

Търсената височината e $x$, дължината на стълбата е $a$, $AC$ е средна отсечка в правоъгълния трапец. От подобието на триъгълниците $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ (мисля, че е ясно защо са подобни ) имаме:
$\frac{\frac{a\sqrt3}{2}}{\frac{x+11}{2}}=\frac{a}{7\sqrt3}$ ... $\Rightarrow x+11=21$, $x=10$

[Davids]

Да довърша с лесната част - дължината на стълбата. Та, можем да я намерим по питагорова теорема за [tex]\Delta DEF[/tex]:
[tex]a^2 = 49.3 + 1 = 148 \Leftrightarrow a = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}m[/tex]

[ins-]

Интересни задачи е имало навремето. Забелязвам много задачи, които са се появявали в началните кръгове на олимпиадите по матемаика и на приемни изпити за университетите.

[Davids]

Интересни задачи е имало навремето. Забелязвам много задачи, които са се появявали в началните кръгове на олимпиадите по матемаика и на приемни изпити за университетите.

И на мен тази ми попадна веднага сред любимите. Практична, измислена, с нужните особености и простичък материал за решаване. Най ги обичам такива

[S.B.]

Стълба се опира с единия си край на улица, а с другия - на стената на къща с височина 11 м. Стълбата се завърта около долния си край на ъгъл [tex]60^o[/tex] и се обляга на срещуположната къща. Да се намерят дължината на стълбата и височината, на която тя се е облегнала, ако ширината на улицата е [tex]7\sqrt3[/tex] м.

Без заглавие - 2026-03-13T114222.925.png (223.32 KiB) Прегледано 181 пъти

Макар и много по-късно,предлагам още един поглед върху тази красива задача!
[tex]AB = 7 \sqrt{3}[/tex] - улицата, [tex]BC = 11, BC \bot AB[/tex] - първата къща , [tex]AN || BC[/tex] - втората къща, $CM = MN$ - стълбата,[tex]\angle CMN = 60 ^\circ[/tex]
Търсим дължината на стълбата $CM = MN = a$ и височината $AN$ на втората къща.
[tex]\triangle CMN[/tex] е равнобедрен и има ъгъл [tex]60 ^\circ \Rightarrow \triangle CMN[/tex] е равностранен и $CN = a$
Построявам [tex]CD || AB, CD = AB = 7\sqrt{3}[/tex]
$ABCD$ е правоъгълник ( успоредник с прав ъгъл)
За правоъгълния [tex]\triangle BMC :[/tex]
[tex]\angle MCB = \alpha[/tex]
[tex]\cos \alpha = \frac{BC}{MC} = \frac{11}{a} \Rightarrow a = \frac{11}{\cos \alpha }[/tex]

За правоъгълния [tex]\triangle DNC , \angle DCN = 90 ^\circ- (60 ^\circ + \alpha) = 30 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]\cos (30 ^\circ - \alpha ) = \frac{DC}{NC} \Leftrightarrow \cos(30 ^\circ- \alpha) = \frac{7 \sqrt{3} }{a} \Rightarrow a = \frac{7 \sqrt{3} }{\cos(30 ^\circ- \alpha) }[/tex]
Приравнявам и получавам:
[tex]\frac{11}{\cos \alpha } = \frac{7 \sqrt{3} }{\cos(30 ^\circ - \alpha) } \Leftrightarrow 11\cos(30 ^\circ - \alpha) - 7 \sqrt{3\cos \alpha } = 0[/tex]
[tex]11(\cos 30 ^\circ .\cos \alpha + \sin 30 ^\circ .\sin \alpha) - 7 \sqrt{3}\cos \alpha = 0[/tex]
[tex]11( \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha) - 7 \sqrt{3}\cos \alpha = 0[/tex]
[tex]11 \sqrt{3}\cos \alpha + 11\sin \alpha - 14 \sqrt{3}\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow 11\sin \alpha - 3 \sqrt{3}\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow 11\sin \alpha = 3 \sqrt{3}\cos \alpha[/tex]
$$ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{3 \sqrt{3} }{11}\cos \alpha$$
[tex]\sin^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha = 1 \Leftrightarrow \frac{27}{121} \cos^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha = 1 \Leftrightarrow \frac{148}{121} \cos^{2 } \alpha = 1 \Rightarrow \cos^{2 } \alpha = \frac{121}{148}[/tex]
$$\Rightarrow \cos \alpha = \frac{11}{2 \sqrt{37} } $$
[tex]\begin{cases} \cos \alpha = \displaystyle \frac{11}{a} \\\cos \alpha = \displaystyle \frac{11}{2 \sqrt{37} } \end{cases} \Rightarrow a = 2 \sqrt{37}[/tex]

За [tex]\triangle DNC[/tex] прилагам Питагорова теорема :[tex]DN^{2 } = CN^{2 } - CD^{2 } \Leftrightarrow DN^{2 } = (2 \sqrt{37}) ^{2 } - (7 \sqrt{3}) ^{2 } = 148 - 147 = 1[/tex]
[tex]\Rightarrow AN = AD -1 = 11-1 = 10[/tex]
$$MN = 2 \sqrt{37} , AN = 10 $$

[ins-]

Благодаря за решението! Като някой реши задача, пусната от мен преди години се чудя аз ли съм споделял тия неща и къде съм ги намирал. За много от тях отдавна съм забравил.