Система от руският форум

[admin]

[tex]\begin{array}{|l} x^{z} = y*\sqrt[3]{y} \\y^{z}=\sqrt[3]{x} \\ \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}=2z \end{array}[/tex]

[Alex98]

Полагаме [tex]x=p^{12} ; y=q^{12} ; x,y,z \ge 0[/tex] и системата добива вида:

[tex]\begin{array}{|l} p^{12z}=q^{16} \Rightarrow (p^4)^{3z}=q^{16}\\q^{12z}=p^4 \\ p^3+q^3=2z \end{array}[/tex]

Заместваме второто уравнение в първото и получаваме:

[tex]q^{36z^2}=q^{16} \Rightarrow 36z^2 =16 \Rightarrow z=\frac{2}{3}[/tex]

системата добива вида:

[tex]\begin{array}{|l} p^4=q^8 \Rightarrow (q^2-p)(q^2+p)(q^4+p^2)=0 \Rightarrow p=\pm q^2\\ p^3+q^3=\frac{4}{3} \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow q^6+q^3-\frac{4}{3}=0 \Rightarrow t^2+t-\frac{4}{3}=0[/tex] , където [tex]q^3=t[/tex]

[tex]\Rightarrow t=\frac{-3\mp\sqrt{57}}{6}[/tex]
[tex]\Rightarrow q=\sqrt[3]{\frac{-3\pm\sqrt{57}}{6}} \Rightarrow y=\frac{(11\pm\sqrt{57})^2}{36}[/tex]
[tex]\Rightarrow p=\sqrt[3]{\frac{11\pm\sqrt{57}}{6}} \Rightarrow x=\frac{(11\pm\sqrt{57})^4}{1296}[/tex]

[monika_at]

[tex](x;y;z) =(1;1;1)[/tex] също е решение.

[Alex98]

Да, пропуснах да проверя за единиците