Тригонометрично, параметрично уравнение (НОМ 1997 г.)

[ins-]

Да се намерят всичко стойности на параметъра [tex]m[/tex], за които уравнението [tex]m(sinx-cosx)^2-cos4x-1=0[/tex] има поне едно такова решение [tex]x\in(0,\frac{\pi}{2})[/tex], че [tex]tgx\ne1[/tex].

[Davids]

От даденото следва, че [tex]tgx \ne 1 \Rightarrow x \ne \frac{\pi}{4}[/tex]

[tex]m(sinx - cosx)^2 - cos4x - 1 = 0[/tex]
[tex]m(sin^2x - 2sinx.cosx + cos^2x) - (1-2sin^22x) - 1 = 0[/tex]
[tex]m(1 - sin2x) + 2sin^22x - 2 = 0[/tex]
[tex]2sin^22x - msin2x + m - 2 = 0[/tex]
Полагаме [tex]t = sin2x \ne sin2\frac{\pi}{4} = sin\frac{\pi}{2} = 1 \Rightarrow t \ne 1[/tex] и решаваме квадратно уравнение:
[tex]2t^2 - mt + m - 2 = 0[/tex]
[tex]D = m^2 - 8m + 16 = (m - 4)^2[/tex]
[tex]t_1 = \frac{m - m + 4}{2.2} = 1[/tex] не е решение;
[tex]t_2 = \frac{m + m - 4}{2.2} = \frac{m - 2}{2}[/tex], откъдето можем да си изведем, че [tex]m \ne 4[/tex]

Разглеждаме само второто решение, от което следва:
[tex]t = sin2x = \frac{m-2}{2}[/tex]

Полагаме [tex]p = 2x[/tex] и тъй като [tex]x \in (0; \frac{\pi}{2})[/tex], то [tex]p \in (0; \pi)[/tex], откъдето следва, че [tex]sinp \in (0; 1][/tex]
Но тъй като даденото изключва случая, в който [tex]t = sinp = 1[/tex], то [tex]sinp \in (0; 1)[/tex]
Тоест: [tex]\begin{array}{|l} \frac{m-2}{2} > 0 \\ \frac{m-2}{2} < 1 \end{array} \Rightarrow m \in (2; 4)[/tex]

[ins-]

[tex]2sin^2x[/tex] трябва да е [tex]2sin^22x[/tex], но иначе разсъжденията са нещо подобно.

[Davids]

[tex]2sin^2x[/tex] трябва да е [tex]2sin^22x[/tex], но иначе разсъжденията са нещо подобно.

Редактирах го, прав си... Не знам защо така съм го писал, една двойка за степента ми се е видяла достатъчна при [tex]-формата

[ins-]

Докато го решавах допуснах повече грешки, а и в условието имам. Концептуално задачата е лесна, но и лесно се греши, ако човек е разсеян. Възможен е и малко по-друг подход: http://artofproblemsolving.com/communit ... 64p7259267 .

[drago]

...Възможен е и малко по-друг подход...

Е, тази идея не е нищо ново. И в българските олимпиади( както виждам ги следиш), това е давано не един път. Напр. в подборния кръг на 1980 имаше подобна задача, по-усложнена, но същата идея- параметърът да се определи спрямо корена- израз зависещ от (корена) $x$. И ако тук може да се мине и по стандартния метод, макар и малко по-трудно, то в някои други случаи алтернатива няма.

[ins-]

Подобни задачи са давани и за приемни изпити за университети преди години. Вероятно целта е била като потенциална полза за участниците да е и подпомагане на подготовката за изпитите или просто трудно се измислят добри задачи за олимпиади и на съставителите на темите не им се е занимавало много.

[drago]

...Напр. в подборния кръг на 1980 имаше подобна задача, по-усложнена, но същата идея- параметърът да се определи спрямо корена- израз зависещ от (корена) $x$.

Всъщност, явно съм сбъркал леко годината. Имах предвид това.

[ins-]

Виждал съм уравнението и решението му. И от двата кръга има много добри задачи през същата година. http://imomath.com/index.php?options=Bu ... n=Bulgaria тук има събрани още задачи от последните 2 кръга.

[drago]

Да, този сайт е добър. Всъщност аз от там съм "превел" тази задача, макар че съм я виждал доста по отдавна... всъщност като я презентираха на въпросното състезание
Задачите от следващия подборен (1980) са по-добри,...е въпрос на вкус и...спомени.