Параметрично квадратно у-ние/ НОМ 4-ти кръг, 1979

[drago]

За реалния параметър $k$, с $f(k)$ означаваме по-големия корен на квадратното уравнение:
\[(k^2 +1)x^2 +10kx−6(9k^2+1) = 0.\]
Намерете максималната и минималната стойност на $f(k)\,,\,k\in \mathbb{R}$.(като докажете, че те се достигат)

[Knowledge Greedy]

[tex](k^2+1)x^2+10kx-6(9k^2+1)=0[/tex]
По формулите на Виет, явно [tex]x_1<0<x_2=f(k)[/tex]
Дискриминантата [tex]D=54 k^4+85k^2+6[/tex] е направо обезкуражваща.
Все пак [tex]D>0[/tex] и затова функцията [tex]f(k)[/tex] е определена за всяко [tex]k\in \mathbb{R}[/tex]
Да опитаме със смяна на неизвестното. Записваме уравнението като квадратно спрямо [tex]k[/tex].
[tex](x^2-54)k^2+10xk+x^2-6=0[/tex]
[tex]D=-x^ 4+85x^2-324[/tex]
Тук [tex]D_D=77^2[/tex]
[tex]D\ge 0 \,\ \Leftrightarrow \,\ (x^2-4)(x^2-81)\le 0[/tex]
Следователно [tex]x\in [-9;-2]\cup [2;9][/tex]
Явно трябва
[tex]f(k)=\frac{\sqrt{54 k^4+85k^2+6}-5k}{k^2+1} \in [2;9] \,\ (\ast)[/tex]

При [tex]x=2[/tex] уравнението спрямо [tex]k[/tex] придобива вида [tex]-50k^2+20k-2=0[/tex],
което е с един двоен корен [tex]k=\frac{1}{5}[/tex]
При [tex]x=9[/tex] уравнението за [tex]k[/tex] става [tex]27k^2+90k+75=0[/tex]
То също е с един двоен корен [tex]k=-\frac{5}{3}[/tex]
Следователно - съгласно [tex](\ast)[/tex]
[tex]min f(k) = f \left ( \frac{1}{5}\right ) =2[/tex]
и
[tex]max f(k) = f \left (- \frac{5}{3}\right ) =9[/tex]

[drago]

Да, благодаря за подробния запис. Една несъществена забележка. Даже няма нужда да се изписва експлицитно $f(k)$ в $(*)$. По Виет произведението на корените на първоначалното у-ние е отрицателно, т.е. единия корен е положителен (точно $f(k)$ ), a другия отрицателен.
Доколкото си спомням, автор на тази задача е Иван Тонов.