Геометрична задача 10 клас

[tedi2906]

Ъглополовящите AL и CD на равнобедрения триъгълник АВС с бедра АС и ВС се пресичат в точка О, която дели СD в отношение 4:3, считано от върха С.Дължината на ВL е 12см.Да се намерят лицето на АВС и отношението на дължините на радиуса на описаната и вписаната окръжности.

[Davids]

Означаваме пресечната точка на [tex]AL[/tex] и [tex]CD[/tex], като знаем, че [tex]CD[/tex] е и височина.
Понеже [tex]CO:DO = 4:3[/tex], то по свойството на ъглополовящата за [tex]\Delta ADC[/tex] имаме [tex]AC:AD = 4:3[/tex]. Означаваме частите със съответно [tex]AC = 4x[/tex], [tex]AD = 3x[/tex] [tex](AB = 6x)[/tex]
То тогава [tex]AC:AB = 4:6[/tex], само че с това можем да ползваме свойство на ъгополовящата за [tex]\Delta ABC[/tex], според което:
[tex]CL:BL = AC:AB = 4:6[/tex]
Знаем, че [tex]BL = 12[/tex] и намираме [tex]CL = 8[/tex]
Бедрото вече намерихме - 20cm. Следователно основата е 30см.
По питагорова теорема височината:
[tex]20^2 = h^2 + 15^2 \Rightarrow h = CD = 5\sqrt{7}[/tex]
Лицето: [tex]S = \frac{30.5\sqrt{7}}{2} = 75\sqrt{7}[/tex]
Сега отношението. Изразяваме лицето два пъти чрез радиусите:
$S = 75\sqrt{5} = pr = 35r \Rightarrow r = \frac{15}{\sqrt{7}}$ (няма да рационализираме, защото ще се съкратят)
$S = 75\sqrt{5} = \frac{abc}{4R} = \frac{100.30}{R} \Rightarrow R = \frac{40}{\sqrt{7}}$
И извличаме: [tex]\frac{R}{r} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}[/tex]

[tedi2906]

Много Ви благодаря и Весели празници на всички.