Четириъгълник с равни диагонали

[inveidar]

В четириъгълник [tex]ABCD[/tex] [tex]AC=BD,AC \cap BD=O[/tex]. Окръжностите, описани около триъгълниците [tex]ABO[/tex] и [tex]CDO[/tex] се пресичат за втори път в точка [tex]M[/tex], а окръжностите, описани около триъгълниците [tex]ADO[/tex] и [tex]BCO[/tex] се пресичат за втори път в точка [tex]N[/tex]. Докажете, че [tex]\angle MON=90^\circ[/tex].

[Knowledge Greedy]

Четириъгълник с равни диагонали.png (7.78 KiB) Прегледано 1432 пъти

Изглежда MON наистина е прав. За разлика от МОН.

[KOPMOPAH]

Много добра задача. От нея могат да произлязат още:

а) Да се докаже, че $OM$ и $ON$ са ъглополовящи съответно на $\measuredangle AOD$ и $\measuredangle AOB$.
б) Да се докаже, че т. $M$ и т. $N$ са среди на дъгите $\widehat {AMB}$ и $\widehat {BNC}$.
в) Да се докаже, че $OM$ и $ON$ са успоредни на диагоналите на ромба (откъдето също следва перпендикулярността) с върхове средите на $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

[georgi111]

Както винаги много добра задача с автор Емил Стоянов . Ето моето решение:
Означаваме
[tex]\angle CAN=\angle OAN=\angle NDO=\angle NDB=\psi(*)[/tex] и
[tex]\angle NCO=\angle NCA= \angle OBN = \angle DBN=\varphi(**)[/tex].
Лесно се вижда,че [tex]\angle AND=\angle BNC(=\angle AOD=\angle BOC)[/tex].Тогава [tex]\angle ANC = \angle AND + \angle DNC=\angle DNC + \angle CNB=\angle DNB(***)[/tex]
Сега от триъгълниците [tex]DBN, ACN[/tex] по синусова теорема имаме съответно:
[tex]DN=\frac{BD}{sin(\angle DNB)}sin(\varphi)=\frac{AC}{sin(\angle ANC)}sin(\varphi)[/tex] и от [tex](***)[/tex] и условието получаваме [tex]AN=DN[/tex]. Аналогично получаваме [tex]CN=BN[/tex]. Сега лесно следва, че [tex]ON,OM[/tex] са ъглополовящи съответно на ъглите [tex]AOB, AOD[/tex] защото например:
[tex]\angle AON=\angle NBC=\angle NCB(NC=NB)=\angle NOB[/tex].
Аналогично за [tex]MO[/tex]. Окончателно [tex]MO,NO[/tex] - ъглополовящи на два съседни ъгъла следователно
[tex]\angle MON=90 ^\circ[/tex], което и трябваше да се докаже.