Приятна геометрия

[Станислав]

Даден е [tex]\Delta ABC[/tex]. Нека точките [tex]A_{1},B_{1},C_{1}[/tex] лежат вътрешно съответно на [tex]BC,CA,AB[/tex]. Да означим с [tex]P[/tex] проекцията на [tex]C_{1}[/tex] върху [tex]A_{1}B_{1}[/tex]. Докажете, че [tex]\angle APC_{1}=\angle BPC_{1}[/tex] е в сила тогава и само тогава, когато [tex]AA_{1},BB_{1},CC_{1}[/tex] се пресичат в една точка. .
Забележка: Задачата в общия случай, когато [tex]A_{1},B_{1},C_{1}[/tex] не са вътрешни май не е вярна.

[ganka simeonova]

Ккаво разбираш под проекция? Орт. проекция ли?
Защото CaRMetal показва, че тези ъгли са равни, само когато Р лежи на СС1.

[allier]

[tex]\frac{AP}{PB }.\frac{BA_{1 }}{CA_{1 } }.\frac{CB_{1 }}{B_{1 }A }=\frac{sin{BPA_{1 } }}{sin{APB_{1 } }[/tex]
Оттук следва едната посока - ако е ъглополовяща. За другата посока, получаваме:
[tex]\frac{AC_{1 }}{C_{1 }B }=\frac{AP}{BP }.\frac{cos{APC_{1 }}}{cos{BPC_{1 } }}[/tex], откъдето [tex]tg{APC_{1 }}=tg{BPC_{1 }}[/tex], т.е. е ъглополовяща.

[allier]

А задачата има и решение с двойно отношение на един ред, стига да се знаят елементарните свойства. Ако [tex]A_{1 }B_{1 }[/tex] пресича AB в X, то и двете твърдения в условието са еквивалентни на [tex][A, C_{1 }, B, X] = -1[/tex].

[ganka simeonova]

Аа обаче не разбрах, каква е т.Р Слави е написал, че е проекция на С1. Обаче проекции има най- различни.

[allier]

Петата на перпендикуляра се има предвид.

[Станислав]

А задачата има и решение с двойно отношение на един ред, стига да се знаят елементарните свойства. Ако [tex]A_{1 }B_{1 }[/tex] пресича AB в X, то и двете твърдения в условието са еквивалентни на [tex][A, C_{1 }, B, X] = -1[/tex].

Така я реших. Иначе това е естественото обобщение на една задача, която решавах.

[Станислав]

А какво става, когато някои точки са външни?