n^2 дели 2^n+1

[Baronov]

Да се намерят всички естествени числа n, такива че [tex]n^2|2^n+1[/tex]

[ganka simeonova]

Баронов, ще предложа решение, въпреки че тези задачи са слабата ми страна. Ако някъде нещо куца, ще се радвам да ме поправиш
Ясно е, че n- нечетно.
Аз ще докажа, че ако [tex]n|(a+b)=>n^2|(a^n+b^n)[/tex]
[tex]a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-...-ab^{n-2}+b^{n-1})=...[/tex]
[tex]=(a+b)[(a^{n-1}-b^{n-1})-b(a^{n-2}+b^{n-2})+b^2(a^{n-3}-b^{n-3})-...-b^{n-2}(a+b)+nb^{n-1}][/tex]

Но n-1 е четно, n-2 e нечетно и т.н., следователно всички събираеми в квадратните без последното се делят на (a+b), т.е. на n. Тъй като последното събираемо също се дели на n, целият израз се дели на n.
С това е доказано, че [tex](a^n+b^n)[/tex] се дели на [tex]n^2[/tex]
В нашия случай [tex]a=2; b=1[/tex]=>[tex]a+b=3[/tex], което число се дели само на 1 и 3. Тогава
[tex]2^n+1[/tex] ще се дели само на 1 и 9.
Значи [tex]n=1; n=3[/tex]

[estoyanovvd]

Аз ще докажа, че ако [tex]n|(a+b)=>n^2|(a^n+b^n)[/tex]

Ти изполваш обратното твърдение, което може и да не е вярно.

[martin123456]

n e нечетно (иначе 2 дели нечетно). нека [tex]p \in \mathbb{P}[/tex] е най-малкият прост делител на [tex]n[/tex].
нека [tex]s[/tex] е показателят на 2 по модул [tex]p[/tex]. значи [tex]s | 2n[/tex].
- ако [tex]s[/tex] e нечетно, значи [tex]s|n[/tex], значи [tex]2^n \equiv 1(mod p)[/tex], значи [tex]p|2[/tex], не става
- значи [tex]s[/tex] трябва да е четно. нека [tex]s=2k[/tex]. [tex]k|n[/tex]. тъй като [tex]2^{p-1} \equiv 1 (mod p)[/tex], значи [tex]2k|(p-1)[/tex], значи [tex]k \leq \frac{p-1}{2}<p[/tex]. значи [tex]k=1[/tex], значи [tex]s=2[/tex], значи [tex]p|3[/tex].

значи само делители 3ки. [tex]n=3^k[/tex]. значи [tex]3^{2k}|(2^{3^k}+1)[/tex]. [tex]\varphi(3^{2k})=2.3^{2k-1}[/tex].
нека показателят на 2 по модул [tex]3^{2k}[/tex] e [tex]s[/tex]. значи, [tex]s|2.3^k[/tex], [tex]s|2.3^{2k-1}[/tex].
- ако [tex]k > 1[/tex], то [tex]s=2.3^m[/tex], [tex]m \leq k[/tex].
1. ако [tex]s[/tex] е нечетно, то [tex]3^m > 3^k[/tex], зарачи [tex]3^{2k}|(2^{3^k}+1)[/tex]
2. ако [tex]s[/tex] е четно. [tex]s=2r[/tex]=>[tex]3^{2k}|(2^{3^r}+1)(2^{3^r}-1)[/tex]. вторият мн не се дели на 3, значи [tex]3^{2k}|(2^{3^r}+1)[/tex]. мисля че трябва да се док, че показател на 2 по мод [tex]3^{2k}[/tex] е [tex]2.3^{2k-1}[/tex], но не се сещам как. тогава, [tex]2k-1 \leq k[/tex]
- ако ли не, [tex]n=3[/tex]

така че подзадача: док, че показателят на 2 по модул [tex]3^{2k}[/tex] е [tex]2.3^{2k-1}[/tex]

[martin123456]

а всъчщност става по индукция
за к=1, е да
нека е вярно за к. трябва да намерим мин x, че [tex]3^{2k}3^2|(2^x-1)[/tex]. от предположението следва [tex]x=2.3^{2k-1}y[/tex], а от [tex]\varphi(3^{2k+2)[/tex] следва че [tex]y[/tex] е степен на 3.
залагаме y=9. трябва да док, че [tex]3^{2k}3^2|(2^{2.3^{2k-1}})^9-1=3^{2k}t(\ldots)[/tex]
[tex]\ldots = 2^{8.2.3^{2k-1}}+2^{7.2.3^{2k-1}}+2^{6.2.3^{2k-1}}+2^{4.2.3^{2k-1}}+2^{3.2.3^{2k-1}}+2^{2.2.3^{2k-1}}+2^{2.3^{2k-1}}+1[/tex]
[tex]\varphi(9)=6[/tex]. всички 9 събираеми имат остатък 1 модул 9. значи ок