Тригонометрични уравнения

[Milenaa]

моля за помощ! задачи:
sinx-sin3x+sin7x=cos(5x-5п/2) отг. кп/4

1+cos5x=(sin7x/2-cos7x/2)^2 oтг. (4к+3)п/12; (4к+3)П/24

[Knowledge Greedy]

[tex]sinx-sin3x+sin7x=cos(5x-5\pi/2)[/tex]
Отляво групираме първото и третото събираемо, вдясно добавяме в аргумента на косинуса един период
[tex](sinx+sin7x)-sin3x=cos(5x-5\pi/2+2\pi)[/tex]
Преобразуваме сбора в скобите отляво - във вид на произведение, а вдясно - действия в аргумента
[tex]2sin4xcos(-3x)-sin3x=cos(5x-\pi/2)[/tex]
Използваме на два пъти четността на функцията косинус
[tex]2sin4xcos3x-sin3x=cos(\pi/2-5x)[/tex]
Отдясно сменяме косинуса със синус на допълващия до [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ъгъл, прехвърляме отдясно [tex](sin3x)[/tex]
[tex]2sin4xcos3x=sin3x+sin5x[/tex]
сборът отдясно - във вид на произведение
[tex]2sin4xcos3x=2sin4xcos(-x)[/tex]
четност вдясно
[tex]2sin4xcos3x=2sin4xcosx[/tex]
Прехвърляне вляво, съкращаване на 2
[tex]sin4xcos3x-sin4xcosx=0[/tex]
Общ множител, разлагане израза в скобите отляво - във вид на произведение
[tex]sin4x(cos3x-cosx)=0[/tex]
[tex]sin4xsin2xsinx=0[/tex]
Решаваме всяко от уравненията
[tex][tex]sin4x=0[/tex]
[tex][tex]sin2x=0[/tex]
[tex][tex]sinx=0[/tex]
Отговор [tex]x=\frac{\pi}{4}k[/tex], за всяко цяло [tex]k[/tex]

[Milenaa]

Е как така си го добавяме тозо период

[Knowledge Greedy]

Е как така си го добавяме този период?

Ами много лесно Ето различни примери.
[tex]sin390^\circ=sin30^\circ[/tex] - добавили сме ([tex]-360^\circ[/tex]), за да може да изчислим този [tex]sin390^\circ[/tex]
и така явно [tex]sin390^\circ=\frac{1}{2}[/tex]

пример 2.)
[tex]cos(-1512^\circ)=cos(-1512^\circ+4.360^\circ)=cos72^\circ[/tex] - тук сме добавили четири периода, за да се получи остър ъгъл, чиято стойност на косинуса може по-лесно да видим.

ПрТ2.png (18.16 KiB) Прегледано 434 пъти

Смисълът е, че стойностите на функцията косинус се повтарят през равни интервали за аргумента (в задачата са били достатъчни четири повтаряния).

пример 3.) с радиани
[tex]cos(3x−9π)=cos(3x−9π+8\pi) =cos(3x−π)[/tex] - тук добавяме също 4 периода ([tex]4X 2\pi[/tex]) и получаваме по-видим израз, който по-лесно да преобразуваме.