Балканиада 2017, Охрид, Македония.

[ABK]

Задачите на английски:
https://artofproblemsolving.com/communi ... _balkan_mo

Задачите на руски:
http://mathworld.kz/news/balkanskaya-olimpiada-2017

[Knowledge Greedy]

Задача 1.
[tex]\begin{array}{|l} x = 1 \\ y = 7 \end{array}[/tex], [tex]\begin{array}{|l} x = 7 \\ y = 1 \end{array}[/tex]
и
[tex]\begin{array}{|l} x = 22 \\ y = 22 \end{array}[/tex]

[ptj]

Задача 3:
При [tex]m=n=1[/tex] получаваме [tex]2f(1)[/tex] ce дели на [tex]f(1)+1[/tex].
Понеже [tex]f(1)[/tex] и [tex]f(1)+1[/tex] са взаимно прости, то [tex]f(1)+1[/tex] дели [tex]2[/tex], т.е. [tex]f(1)=1[/tex].
[tex]f(n)+n.1[/tex] се дели на [tex]n+1[/tex], т.е. [tex]f(n)=( k -1)n+k[/tex]
[tex]f(1)=2k-1=1[/tex] или [tex]k=1[/tex].
Окончателно [tex]f(n)=1[/tex].

[drago]

...[tex]f(n)+n.1[/tex] се дели на [tex]n+1[/tex], т.е. [tex]f(n)=( k -1)n+k[/tex]

Да, това e така, но забележи, че това твое "$k$" зависи от $n$, т.е. за едно $n$ може да е едно, за друго- друго. Нищо де, подходът е ок, сега остава да сложиш $n=m=p$, където $p$ е просто и след опростявания да видиш че $k+1\mid p$, което означава, че $k=1$ или $k=p$. И така при $p$ - просто получаваме:
$$f(p)=\begin{cases} 1\\ p^2 \end{cases} $$
Разбира се това не означава че за всички прости $p$ eдновременно е изпълнено едното или за всички прости- другото. За едни $p$ може $f(p)$ да е примерно $1$, за други - $p^2$. Но това е мотижация да докажем, че има само две възможности: $f(x)=1, \forall x$ или $f(x)=x^2, \forall x$.
И двете са решения. Остава да се направят малко "разцъквания" с условието и заместавния с туй-онуй, но главното е, че с този подход се вижда мотивацията, за разлика от много от решенията в арт-а. Добрo начало, ptj.

[ABK]

Всъщност, есенцията на повечето решения в AoPS се състои в доказателството, че не съществуват други функции освен [tex]f(n)=1[/tex] и [tex]f(n)=n^{2}[/tex], които удовлетворяват условието.

Решения на зад. 1:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 92p8209533

Решения на зад. 2:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 17p8209926

Решения на зад. 3:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 93p8209540
https://artofproblemsolving.com/communi ... 94p8209574

Решения на зад. 4:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 03p8209698