Достатъчно условие за ортоцентър

[inveidar]

zadE100.png (26.31 KiB) Прегледано 470 пъти

Нека точките [tex]K, M[/tex] и [tex]N[/tex] са съответно от страните [tex]AB, BC[/tex] и [tex]CA[/tex] на [tex]\Delta ABC[/tex], като [tex]AM, BN[/tex] и [tex]CK[/tex] се пресичат в точка [tex]H[/tex]. Докажете, че ако [tex]\angle AKN=\angle BKM=\angle ACB[/tex], то [tex]H[/tex] е ортоцентър на [tex]\Delta ABC[/tex].

[Alex98]

Нека [tex]\angle AKN=\angle BKM=\angle ACB=\gamma \Rightarrow \angle AKM=\angle BKN=180^\circ-\gamma[/tex]
Следователно около четириъгълниците [tex]AKMC[/tex] и [tex]BKNC[/tex] може да се опише окръжност
[tex]\Rightarrow \angle MAK=\angle MCK=\frac{1}{2}\stackrel{\frown}{MK} \Rightarrow \angle BNK=\angle BCK=\frac{1}{2}\stackrel{\frown}{BK}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle MAK=\angle BNK \Rightarrow[/tex] около четириъгълник [tex]AKHN[/tex] може да се опише окръжност
[tex]\Rightarrow \angle NKC=\angle MAC=\frac{1}{2}\stackrel{\frown}{NH} ; \angle MAC=\angle MKC=\frac{1}{2}\stackrel{\frown}{MC}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle MKC=\angle NKC \Rightarrow \angle AKC=\angle BKC[/tex] но те са съседни [tex]\Rightarrow \angle AKC=\angle BKC=90^\circ[/tex]
около четириъгълник [tex]AKHN[/tex] може да се опише окръжност [tex]\Rightarrow \angle ANH=180^\circ-\angle AKH=180^\circ-90^\circ=90^\circ[/tex]
[tex]\angle HNC=180-\angle ANH=180^\circ-\angle AKH=180^\circ-90^\circ=90^\circ[/tex] като съседни
[tex]\Rightarrow BN[/tex] и [tex]CK[/tex] са височини [tex]\Rightarrow H[/tex] е ортоцентър