Полином съдържащ безкрайна геометрична прогресия

[Baronov]

Да се намерят всички полиноми P е с цели коефициенти и е такъв, [tex]P(x)=2^n[/tex] има цяло решение за всяко естествено n.

[drago]

Малко стар пост е, но задачата е интересна и заслужава решение!

[drago]

Една скица на разсъжденията:
Да допуснем, че [tex]\deg P \geq 2[/tex]. Нека [tex]x_n \in \mathbb{Z}[/tex] ,така че [tex]P(x_n)=2^n[/tex]. Да означим [tex]\Delta x_n = x_{n+1}-x_{n}[/tex].
Лесно се виждат следните факти.
1. От някое място нататък [tex]x_n[/tex] е строго растяща редица.
2. Oт някое място нататък [tex]\Delta x_n[/tex] също е строго растяща.
3. Тъй като [tex]\Delta x_n \,\mid \, P(x_{n+1}) - P(x_{n}) = 2^n[/tex] , следва че [tex]\Delta x_n[/tex] е степен на [tex]2[/tex]. От 2) пък следва, че [tex]\Delta x_n[/tex] от някое място нататък нараства като [tex]2^{k}[/tex] или по-бързо. Като имаме предвид, че степента на [tex]P[/tex] е поне [tex]2[/tex] , това вече е прекалено бързо нарастване, за да обходи [tex]P(x_n)[/tex] всички степени на [tex]2[/tex].
Т.е. не е възможно [tex]\deg P \geq 2[/tex]. Остава единствено случая степента на [tex]P[/tex] да е [tex]1[/tex]...