Национален кръг на "Европейско Кенгуру" 2017

[spy]

ТЕМА за 1 КЛАС
ТЕМА за 2 КЛАС
ТЕМА за 3-4 КЛАС
ТЕМА за 5-6 КЛАС
ТЕМА за 7-8 КЛАС
ТЕМА за 9-10 КЛАС
ТЕМА за 11-12 КЛАС

ОТГОВОРИ

Няма решения за 7-те задачи на темите.
Решавал ли е някой 7 задача на 11-12 клас?

[georgi111]

Условието на задачата е следното:
7. Дадено е уравнението [tex]f(x) = (x-x_{0})^{2000}(x-x_{1})...(x-x_{15})(x^2+x+p)[/tex], където [tex]x_{i} (i \in (0, ..., 15))[/tex] са различни естествени числа, а p е такова реално число, че уравнението [tex]x^2 + x + p = 0[/tex] няма реални корени. Ако сумата от всички корени на уравнението [tex]f(x) = 0[/tex] е 2137, да се намери:
а) множеството от възможните стойности на p
б) най-голямата възможна стойност на произведението от реалните корени на уравнението [tex]f(x) = 0[/tex]
в) множеството от възможните стойности на [tex]f(0)[/tex]

[georgi111]

А едно възможно решение е следното - същественото е това, че решенията с индекси от 0 до 15 са различни естествени числа:
По формулите на Виет за основното уравнение имаме последователно (ако [tex]x_{a}, x_{b}[/tex] са корените(комплексни по условие) на [tex]x^2+x+p=0[/tex]):
(*) [tex]2000.x_0 + x_1 + ... + x_{15} + x_a + x_b = 2137[/tex]
(**) [tex]x_0^{2000} .x_1...x_{15} .x_a.x_b = -f(0)[/tex]
откъдето :
(*) [tex]2000.x_0 + x_1 + ... + x_{15} = 2138[/tex]
(**) [tex]x_0^{2000} .x_1...x_{15} .p = -f(0)[/tex]
Ясно е, че [tex]x_0 \in (0,1)[/tex] и от условието за квадратното да няма реални корени лесно имаме още [tex]p \in (\frac {1} {4};\infty)[/tex].
Случай 1)[tex]x_0=0[/tex]. Тогава:
(*) [tex]x_1 + ... + x_{15} = 2138[/tex]
(**) [tex]f(0) = 0[/tex]
Отговорите на а) [tex]p \in (\frac {1} {4};\infty)[/tex] б) 0 в) 0
Случай 2)[tex]x_0=1[/tex]. Тогава:
(*) [tex]x_1 + ... + x_{15} = 138[/tex]
(**) [tex]f(0) = - x_1...x_{15} .p[/tex]
Без ограничение на общността можем да наредим числата (***)[tex]2 \le x_1 \lt ... \lt x_{15}[/tex] (защото иначе просто ще преномерираме и разсъжденията са аналогични). От (*) имаме тогава [tex]15.x_1 < 138 \rightarrow 2 \le x_1 \le 9[/tex]. Сега ако поискаме [tex]x_1 \ge 4[/tex] лесно получаваме от (***) [tex]x_2 \ge 5, x_3 \ge 6, ..., x_{14} \ge 17, x_{15} \ge 18[/tex]. Тогава лесно имаме противоречие с (*). Следователно [tex]x_1 \in (2,3)[/tex]
Случай 2.1)[tex]x_1=2[/tex]. Тогава:
[tex]x_2 \ge 3, x_3 \ge 4, ..., x_{14} \ge 15[/tex] и от (*) [tex]16 \lt x_{15} \le 138 - 119 = 19[/tex] откъдето : [tex]x_{15} \in (17, 18, 19)[/tex]
Отговорите на а) [tex]p \in (\frac {1} {4};\infty)[/tex] б) (за да има най-голяма стойност произведението трябва [tex]x_{15} = 19, x_1=2, x_2=3, ..., x_{14}=15[/tex]) НГС= [tex]2^{12}.3^6.5^3.7^2.11.13.19[/tex] в) същото като в б) само че със знак минус, като вземем предвид, че имаме още 2 стойности за [tex]f(0)[/tex], получаващи се за [tex]x_{15} \in (17, 18)[/tex]
Случай 2.2)[tex]x_1=3[/tex]. Тогава:
[tex]x_2 \ge 4, x_3 \ge 5, ..., x_{14} \ge 16[/tex] и от (*) [tex]17 \lt x_{15} \le 138 - 133 = 5[/tex] противоречие!