Изпъкнал р-ъгълник с равни ъгли.

[Baronov]

Да се докаже, че ако един р-ъгълник (р-просто) е с равни ъгли и рационални страни, то той е правилен.

[estoyanovvd]

Това, което се сещам на първо време, е, че можем да смятаме страните за целочислени. Просто хомотетия с произволен център и коефициент равен на най-малкото общо кратно на знаменателите ще изпрати всеки многоъгълник от условието в целочислен.

[estoyanovvd]

Друго, което открих е, че ако броят на върховете на многоъгълника не е степен на просто число, то той може и да не е правилен. Нещо повече, тогава страните му може да са 1,2,3,4,...,n (става въпрос за n-ъгълник).

[Baronov]

Друго, което открих е, че ако броят на върховете на многоъгълника не е степен на просто число, то той може и да не е правилен. Нещо повече, тогава страните му може да са 1,2,3,4,...,n (става въпрос за n-ъгълник).

Така е, фактът, че р е просто е съществено важен за решението. Аз имам чуството, че дори и броят на страните да е степен на просто, твърдението пак не е вярно.

Интересно ми е как се строи този n-ъгълник с равни ъгли и страни 1,2,3...n.

[estoyanovvd]

Аз тази задача я открих в сборника по планиметрия на Прасолов. Става въпрос за 1,2,3,.... Ако искаш мога да ти го изпратя.

[ubuntu]

Да се докаже, че ако един р-ъгълник (р-просто) е с равни ъгли и рационални страни, то той е правилен.

Ми , доказва се сравнително лесно с комплексни числа , но ще е интересно да се види някакво различно доказателство

[Baronov]

Да се докаже, че ако един р-ъгълник (р-просто) е с равни ъгли и рационални страни, то той е правилен.

Ми , доказва се сравнително лесно с комплексни числа , но ще е интересно да се види някакво различно доказателство

Прав си. Това е и решението което аз знам. Съмнява ме да има друго решение в общия случай. В оригинал е дадена за 5-ъгълник, може да има геометрично решение в този случай.

[estoyanovvd]

На мен ще ми е интересно да пуснете решението. Моля!

[Baronov]

Идеята е да разгледате многоъгълника разположен в комплексната равнина по такъв начин, че 2 негови съседни върха да са съответно в 1 и 0. Сега изчисляваме последователно афиксите на всички върхове на многоъгълника. Нека [tex]\xi = exp(\frac{2\pi i}{p})[/tex]. Като се вземе предвид формулата за умножение на комплексни числа се вижда, че афиксите на последователните върхове(като се започне от върха с афикс 1) са полиноми на [tex]\xi[/tex], всеки с една степен по-висока от предишния. Последния връх има афикс 0, а полиномът, който се получава по горния метод е от степен р-1. Т.е.
[tex]\xi[/tex] е корен на полином от степен р-1. До тук не сме използвали простотата на р и фактът, че страните са рационални. От критерият на Айзенщайн лесно следва, че коефициентите на полинома са равни и следователно многоъгълникът е правилен. Нарочно изпускам детайлите, за да може, ако някой се интересува да може да си дореши задачата сам.
Не се бях замислял, че задачата изисква няколко теоретични момента за които не се говори много в този форум, но са супер важни за ученическите състезания.
1. Комплексни числа в геометрията (трябва да пусна единствената трудна геометрия, която някога съм решиил на състезание, разбира се с комплексни числа).
2. Критерии за неразложимост на полиноми и минимален полином на алгебрично число.