задачи за 9 клас с повишена трудност

[yoanna]

ако някой може да реши 107 и 108

[KOPMOPAH]

108.
[tex]\begin{array}{|l} \sqrt{\frac {2x+1}{x+y}} +\sqrt{\frac {x+y}{2x+1}}= 2 \\ \sqrt{\frac {x^2+1}{y}}- \sqrt{\frac y{x^2+1}} = \frac 32 \end{array}[/tex]

Полагаме $\sqrt{\frac {2x+1}{x+y}}=a$, значи $\sqrt{\frac {x+y}{2x+1}}=\frac 1a$, получаваме квадратно уравнение $a^2-2a+1=0$ с единствен двоен корен $a_{1,2}=1$
По същия начин полагаме $\sqrt{\frac {x^2+1}{y}}=b$, получаваме квадратно уравнение $2b^2-3b-2=0$ с корени $b_1=2$ и $b_2=-\frac 12$. Тук е мястото да се сбърка , защото $\sqrt{\frac {x^2+1}{y}}$ не може да е отрицателно число и коренът $b_2$ отпада.
Системата стана
$\begin{array}{|l} \sqrt{\frac {2x+1}{x+y}} = 1 \\ \sqrt{\frac {x^2+1}{y}}=2 \end{array}$
Нататък е ясно, надявам се ...

[Alex98]

[tex]\begin{array}{|l} y^2-|xy|+2=0 = 4 \\8-x^2=(x+2y)^2 \end{array}\Rightarrow \begin{array}{|l} 2|xy|-2y^2 = 4 \\ x^2+2xy+2y^2 = 4 \end{array}\Rightarrow 4y^2+x^2+2xy-2|xy|=0[/tex]
Сега разкриваме модула в 2 случая
Ако [tex]xy\ge 0 \Rightarrow |xy|=xy \Rightarrow 4y^2+x^2=0 \Rightarrow x=y=0[/tex] , което е противоречие след заместване в някое от началните уравнения.
Ако [tex]xy<0 \Rightarrow |xy|=-xy \Rightarrow 4y^2+4xy+x^2=0 \Rightarrow (x+2y)^2=0[/tex] и сега след заместване във второто уравнение лесно намираме [tex]x_1=2\sqrt{2} ; x_2=-2\sqrt{2}[/tex].Освен това [tex]x=-2y \Rightarrow y_1=-\sqrt{2} ; y_2=\sqrt{2}[/tex]

[milen]

на първата снимка е хомогенно уравнение (тя е след 2 не знам защо така се качиха), оттам делиш на у2, заместваш [tex]\frac{х}{у}[/tex] с t и получаваш система, намираш дискриминанта и т.н. надявам се да ми разбереш логиката