Доказателство на сходяща редица и граница

[Davids]

2017-10-18 23.24.47.png (38.74 KiB) Прегледано 915 пъти

[pal702004]

Ако редицата е сходяща, то границата и е корен на уравнението $x=1+\frac 1 x$

[Davids]

Ако редицата е сходяща, то границата и е корен на уравнението $x=1+\frac 1 x$

Много бих се радвал на малко повече подробности относно причината това да е така и как се извежда зависимостта. А и цялостни разяснения не отказвам

[Nathi123]

От начина на задаване на редицата е ясно ,че членовете й са положителни. С индукция може да се докаже,че редицата е монотонно растяща и ограничена отгоре ,например от 2
т.е. за [tex]\forall n \Rightarrow a_{n }<2\Rightarrow \lim_{n\to \infty}a_{n+1 } =\lim_{n \to\infty }(1+\frac{1}{1+a_{n }})=x; x\ge0[/tex]. (всяка сходяща числова редица има единствена граница.)
От определението на граница на редица следва,че ако членовете на редицата са положителни,то и границата е неотрицателна.

[Davids]

Теоретически ми е ясно казаното, интересува ме чисто практическото приложение точно в този случай, защото се оплитам жестоко. Та едно пълно решение ще бъде достатъчно, благодаря!

[Nathi123]

Малко съм се заблудила,че редицата е монотонна,но има монотонни подредици,които кланят към една и съща граница.
Да допуснем,че редицата е сходяща и има граница х.От рекурентната връзака,която е дадена
[tex]\Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n+1}=\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{a_{n }})\Rightarrow x = 1 + \frac{1}{1+x}\Leftrightarrow x^{2}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}[/tex].
Но от [tex]a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n }} ; a_{1 }=1 \Rightarrow a_{n }>0[/tex] за [tex]\forall\in N\Rightarrow x>0\Rightarrow x=\sqrt{2}[/tex] (ако съществува).
[tex]a_{n+1 }= 1+\frac{1}{1+a_{n }}\Rightarrow a_{n+1 }= \frac{2+a_{n }}{1+a_{n }} (1)\Rightarrow a_{n+1 }^{2}=\frac{4+4a_{n }+a_{n}^{2}}{(1+a_{n })^{2}}\Rightarrow a_{n+1 }^{2}-2=\frac{2-a_{n }^{2}}{(1+a_{n })^{2}}[/tex].(2)
Тъй като [tex]a_{n }>0[/tex],то равенство (2) означава,че [tex]a_{n+1} -\sqrt{2}[/tex] и [tex]a_{n }-\sqrt{2}[/tex] имат различни знаци. Като
пресметнем първите няколко члена на редицата можем да предположим,че членовете с нечетни номера са [tex]< \sqrt{2}[/tex] ,a членовете с четни номера са по- големи от [tex]\sqrt{2}[/tex].Ще докажа,че за всяко k [tex]a_{2k+1 }<\sqrt{2}. a_{1 }=1 <\sqrt{2}.[/tex]
Да допуснем,че [tex]a_{2k-1 }<\sqrt{2}\Rightarrow a_{2k+1 }<\sqrt{2}\Rightarrow a_{2k-1 }^{2}-2 <0[/tex].( От допускането).
От (2) [tex]\Rightarrow a_{2k }^{2}-2=\frac{2-a_{2k-1 }^{2}}{(1+a_{2k-1 })^{2}}>0\Rightarrow a_{2k }^{2}-2>0[/tex].
[tex]a_{2k+1 }^{2} - 2 = \frac{2- a_{2k }^{2}}{(1+a_{2k })^{2}}[/tex](от (2) ) [tex]\Rightarrow a_{2k+1 }^{2} - 2 >0 \Rightarrow a_{2k+1 } < \sqrt{2}[/tex].
От доказаното и (2) ,следва,че за всяко к ,[tex]a_{2k }>\sqrt{2}[/tex]. [tex]a_{n+1 }-a_{n }=\frac{2-a_{n }^{2}}{1+a_{n }} (3)[/tex]
Да образуваме [tex]a_{n+1 }-a_{n-1 }= a_{n+1 }-a_{n }+a_{n }-a_{n-1 }= \frac{2-a_{n }^{2}}{1+a_{n }}+\frac{2-a_{n-1 }^{2}}{1+a_{n-1 }}[/tex] от (3)
[tex]\Rightarrow a_{n+1 }-a_{n-1 }= \frac{2(2-a_{n-1 }^{2})}{(1+a_{n })(1+a_{n-1 })}[/tex] (4).
От равенство (4) следва,че подредицата от членовете с нечетни индекси е монотонно растяща, а подредицата от членовете с четни индекси е монотонно намаляваща и двете подредици имат граница [tex]\sqrt{2}[/tex].

[pal702004]

Ако редицата е сходяща, то границата и е корен на уравнението $x=1+\frac 1 x$

Много бих се радвал на малко повече подробности относно причината това да е така и как се извежда зависимостта. А и цялостни разяснения не отказвам

Извинявам се, не съм видял добре рекурентната формула. Границата е корен на ур-ето $x=1+\frac{1}{1+x}$ - ясно защо, дано не съм те заблудил.

[Davids]

Извинявам се, не съм видял добре рекурентната формула. Границата е корен на ур-ето $x=1+\frac{1}{1+x}$ - ясно защо, дано не съм те заблудил.

Досетих се и сам, това го знам, другата част от решението ми беше от ключово значение