Успоредна Ойлерова права и търсени косинуси

[Davids]

2017-10-24 22.12.47.jpg (141.84 KiB) Прегледано 611 пъти

[ева]

а) получавам 2 отг. [tex]\frac{\sqrt{10}}{5}[/tex],[tex]\frac{\sqrt{7}}{7}[/tex],[tex]\frac{2\sqrt{70}}{35}[/tex] и [tex]\frac{\sqrt{130}}{13}[/tex],[tex]\frac{\sqrt{55}}{11}[/tex],-[tex]\frac{2\sqrt{286}}{143}[/tex]
Това ли са отговорите ?

[matst]

Аз получавам само първите три числа.

[Davids]

Не зная отговорите, нямаше ги. И аз се интересувам от решението, а отдавна се бях отказал

[matst]

На чертежа т. [tex]G[/tex] е медицентър, т. [tex]D[/tex] е ортоцентър, т. [tex]O[/tex] е център на описаната окръжност.

Не е отбелязано на чертежа, но в решението се използват означенията
[tex]a=BC[/tex], [tex]b=CA[/tex], [tex]c=AB[/tex], [tex]h_C=CH[/tex], [tex]m_C=CM[/tex], [tex]\alpha=\angle CAB[/tex], [tex]\gamma=\angle BCA[/tex].

По условие, [tex]H[/tex] е между т. [tex]A[/tex] и т. [tex]B[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha<90^{\circ}[/tex] и [tex]\beta<90^{\circ}[/tex]

[tex]\triangle CGD \approx \triangle CMH[/tex], защото [tex]GD\parallel MH[/tex]
(по условие правата [tex]OG[/tex] е успоредна на [tex]AB[/tex] и е добре известно, че т. [tex]D[/tex] лежи на правата [tex]OG[/tex])
Следователно,
(1) [tex]CD=\frac23 h_C[/tex].

Съгласно условието, [tex]BH=\frac{c}{3}[/tex] и от [tex]BH= BC \cos\beta=a \cos\beta[/tex]
следва, че
(2) [tex]\frac{c}{a}=3\cos\beta[/tex]

Сега да забележим, че ъгъл [tex]\gamma=\angle BCA<90^{\circ}[/tex].
Това е така, защото иначе т. [tex]O[/tex] и т. [tex]G[/tex] се намират в различни полуравнини относно правата [tex]AB[/tex], а
това е невъзможно в тази задача т.к. [tex]OG[/tex] е успоредно на [tex]AB[/tex] и не се пресичат.

[tex]\angle BCA<90^\circ[/tex]. Така, т. E е вътрешна за отс. BC и
значи
[tex]CE=CB-BE=a-c\cos\beta[/tex]
И така, от една страна,
[tex]\frac{CE}{CB}= 1 - \frac{c}{a}\cos\beta=1-3cos^2\beta[/tex] (тук [tex]\frac{c}{a}[/tex] е заместено от (2))
т.е.
(3) [tex]\frac{CE}{CB}= 1-3\cos^2\beta[/tex]

От друга страна, от правоъгълния триъг. [tex]\triangle CDE[/tex] се получава [tex]CE=CD\sin\beta[/tex] и
[tex]\frac{CE}{CB}=\frac{CD\sin\beta}{a}=\frac{2/3 \,.\, h_C\,.\,\sin\beta}{a}[/tex] (CD е заместено съгласно (1))
[tex]\Rightarrow \frac{CE}{CB}= \frac{2/3 \,.\, a\sin^2\beta}{a}= \frac{2}{3}(1-\cos^2\beta)[/tex]
т.е.
(4) [tex]\frac{CE}{CB}= \frac{2}{3}(1-\cos^2\beta)[/tex]

От (3) и (4) се получава уравнение относно [tex]\cos\beta[/tex]
[tex]1-3\cos^2\beta= \frac{2}{3}(1-\cos^2\beta)[/tex]
откъдето намираме [tex]\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{7}}[/tex] (т.к. [tex]\beta[/tex] е остър ъгъл).

От (2) се получава [tex]\frac{c}{a}=\frac{3}{\sqrt{7}}[/tex]. Чрез cos т-ма се пресмята
[tex]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta=\frac{10}{7}\,a^2[/tex]. След това се пресмятат
[tex]\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2}{\sqrt{10}}[/tex] и
[tex]\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{4}{\sqrt{70}}[/tex]
по формулата за медианата
[tex]CM=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}=\frac{5}{\sqrt{28}}a[/tex]
и за аритметичната прогресия
[tex]\frac{BH-AB}{CM-AB}=\dots=2[/tex]
което означава, че [tex]AB[/tex], [tex]CM[/tex] и [tex]BH[/tex] са
първи, втори и трети (съотв.) членове на аритметичната прогресия, т.е. [tex]n=3[/tex].

[ева]

Нека правата,която минава през т.О и т.G(медиц.на ВСН) пресича СН в т.Q. [tex]\triangle[/tex]HMC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]QGC (1пр.)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{CH}{CQ}[/tex]=[tex]\frac{CM}{CG}[/tex] ;CQ=[tex]\frac{2}{3}[/tex]CH т.е. CQ=[tex]\frac{2\sqrt{9a^{2}-c^{2}}}{9}[/tex] ;OM=QH=CH-CQ=[tex]\sqrt{a^{2}-\frac{c^{2}}{9}}[/tex]-[tex]\frac{2\sqrt{9a^{2}-c^{2}}}{9}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] OM=[tex]\frac{\sqrt{9a^{2}-c^{2}}}{9}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]AMO-правоъг.(ОМ е симетрала на АВ) sin([tex]\angle[/tex]AOM)=[tex]\frac{AM}{AO}[/tex]=[tex]\frac{c}{2R}[/tex],също sin[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{c}{2R}[/tex] (sin T) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AOM=[tex]\gamma[/tex]
(от [tex]\triangle[/tex]AMO) cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{OM}{AO}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{9a^{2}-c^{2}}}{9R}[/tex] зам. в [tex]sin^{2}[/tex][tex]\gamma[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\gamma[/tex]=1;[tex]\frac{c^{2}}{4R^{2}}[/tex]+[tex]\frac{9a^{2}-c^{2}}{81R^{2}}[/tex]=1 ... R=[tex]\frac{\sqrt{36a^{2}+77c^{2}}}{18}[/tex] (1)
(sin T) sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{b}{2R}[/tex],([tex]\triangle[/tex]HBC) cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{c}{3a}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{b^{2}}{4R^{2}}[/tex]+[tex]\frac{c^{2}}{9a^{2}}[/tex]=1 ... R=[tex]\frac{3ab}{\sqrt{36a^{2}-4c^{2}}}[/tex] (2) [от (1),(2) получаваме]
[tex]\frac{\sqrt{36a^{2}+77c^{2}}}{18}[/tex]=[tex]\frac{3ab}{\sqrt{36a^{2}-4c^{2}}}[/tex] (3) ; [tex]b^{2}[/tex]-([tex]\frac{2c}{3})^{2}[/tex]=[tex]CH^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex]-([tex]\frac{c}{3})^{2}[/tex] ... b=[tex]\sqrt{\frac{3a^{2}+c^{2}}{3}}[/tex] (4) зам.(4) в (3) и стигаме до ур-то
405[tex]а^{4}[/tex]-(414[tex]c^{2}[/tex])[tex]a^{2}[/tex]+77[tex]c^{4}[/tex]=0 a=? Реш.чрез полагане,получаваме [tex]а_{1 }[/tex]=[tex]\frac{c\sqrt{7}}{3}[/tex] или [tex]a_{2 }[/tex]=[tex]\frac{c\sqrt{55}}{15}[/tex] [връщаме се в (4)]
[tex]b_{1 }[/tex]=[tex]\frac{c\sqrt{10}}{3}[/tex] или [tex]b_{2 }[/tex]=[tex]\frac{c\sqrt{130}}{15}[/tex] Вече можем да намерим cos.
([tex]\triangle[/tex]AHC) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2c}{3b_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{10}}{5}[/tex] или cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2c}{3b_{2 }}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{130}}{13}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]HBC) cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{c}{3a}[/tex] ... cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{7}}{7}[/tex] или cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{55}}{11}[/tex]
Зам.[tex]a_{1 }[/tex] в (1) R=[tex]\frac{c\sqrt{105}}{18}[/tex] ,тогава sin[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{c}{2R}[/tex]=[tex]\frac{c}{2.\frac{c\sqrt{105}}{18}}[/tex]=[tex]\frac{3\sqrt{105}}{35}[/tex] лесно намираме cos[tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{2\sqrt{70}}{35}[/tex]
Като зам. [tex]а_{2 }[/tex]в (1) по същия начин получаваме cos[tex]\gamma[/tex]=-[tex]\frac{2\sqrt{286}}{143}[/tex] ([tex]\triangle[/tex]АВС е тъпоъгълен)
matst се досети,че вторите отг.отпадат

[matst]

Всъщност, успоредността (в условието) е еквивилентна на
свойството "четириъгълник MHQO е правоъгълник" (означенията са както ги въвежда ева).

Това води да следното продължение.
[tex]OA^2-AM^2=OM^2=QH^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]R^2-1/4.c^2=1/9.CH^2[/tex],
[tex]CO^2-CQ^2=OQ^2=MH^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]R^2-4/9.CH^2=1/36.c^2[/tex]
Изключва се [tex]R[/tex] и се получава [tex]CH^2=2/3.c^2[/tex]
От [tex]\triangle CHB[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BC^2=CH^2+HB^2[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^2=2/3.c^2 - 1/9. c^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^2=7/9.c^2[/tex] и т.н.