Интересно уравнение в естествени числа

[georgi111]

се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex], за които е изпълнено равенството:
[tex]\frac {\sum_{k=1}^{n }k^2(k+1)!-2} {(n+1)!}=130[/tex]

[Добромир Глухаров]

Чрез диференчна схема лявата страна може да се сведе до $n^2+n-2$.

Единственото решение - естествено число, е $n=11$.

Остава полученият квадратен тричлен да се верифицира посредством индукция.

[Genie_Almo]

И едно за по-айляци като мен.

От пръв поглед се вижда, че за да има "шанс" това уравнение, трябва [tex]n\le 11[/tex] , доколкото последният член на сумата, а именно [tex]n^{2}(n+1)![/tex] трябва все пак да не е по-голям от [tex]130(n+1)!+2[/tex] . Нека да допуснем, че [tex]n\le 10[/tex] .

[tex]1^{2}2!+2^{2}3!+...+(n-1)^{2}n!\le 1^{2}n!+2^{2}n!+...+(n-1)^{2}n! = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.n! < (130-n^{2})n(n)! < (130-n^{2})(n+1)! + 2[/tex]

Частта от неравенството [tex]\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.n! < (130-n^{2})n(n)![/tex] е изпълнена, тъй като [tex]8n^{2}-3n+1 < 780[/tex] за всяко естествено [tex]n\le 10[/tex] .

Следователно n не може да е по-малко от 11. Остава да се намери удобен начин да се провери дали 11 е решение.

[pal702004]

Може и да се докаже с индукция, че

$\sum_{k=1}^n k^2(k+1)!=(n-1)(n+2)!+2$

И уравнението придобива вид $(n-1)(n+2)=130$

[georgi111]

Имах предвид точно решението на pal702004 ...