Конкурс "Миню Балкански" 2010

[mkmarinov]

1. Даден е триъгълник АВС. Нека D е такава точка на правата АС, че BD=DC. Нека G е произволна точка от BD и AG пресича ВС в точка E. Нека F е такава точка от правата АВ, че [tex]\angle GCB=\angle BCF[/tex]. Докажете, че [tex]EF || BD[/tex]

2. В група хора всеки двама имат точно един общ приятел. Докажете,че има нечетен брой хора в тази група.

3.
а) Нека ABCD е изпъкнал четириъгълник такъв, че дължините на всичките му страни и диагонали са рационални числа. Нека [tex]AC \cup BD=E[/tex]. Докажете, че дължината на ЕА също е рационално число.
б) Нека Р е изпъкнал многоъгълник в равнината такъв, че дължините на всичките му страни и диагонали да са рационални числа. Ако пресечем всички диагонали, полигонът се разделя на множество по-малки. Докажете, че дължината на всяка от страните им също е рационално число.

4. n е естествено число, дадена е и редицата [tex]a_1,a_2,...,a_n[/tex]. Нека
[tex]Q(a_1,a_2,...,a_n)=\sum_{k=1}^n \sqrt{(2k-1)^2+a_k^2}[/tex]
a) Намерете минималната стойност на [tex]Q_n[/tex], когато [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] обхожда всички възможни n-торки положителни реални числа, чиято сума е 2010.
б и в) Докажете, че [tex]Q_n[/tex] не може да бъде цяло число.

[allier]

Добри задачи. А на самия конкурс на френски ли е темата и на френски ли трябва да се решат задачите?

[Станислав]

На френски или английски ;] И темата, и задачите трябва да се описват на 1 от въпросните езици.

[mmqu]

Задачите наистина ми се струват "хубави" - нека участниците да споделят какво са направили и ако някой има решения да ги публикува :Ь