Числа и връвчици

[KOPMOPAH]

Попаднах на две задачки, които предлагам на вашето внимание:

1. Числата $2^{2017}$ и $5^{2017}$ са записани едно след друго. Колко цифри има новополученото число? (За тройка - да се намерят цифрите на произведението на двете числа )

2. От дванадесет връвчици с дължина $a$ е направена мрежа под формата на куб. В куба е сложен балон, който е надут до сфера с максималните размери, които мрежата му позволява. Да се намери радиусът на сферата.

[pal702004]

1) $N=\left\lceil\lg(2^{2017})\right\rceil+\left\lceil\lg(5^{2017})\right\rceil$

$\lg(2^{2017})<\left\lceil\lg(2^{2017})\right\rceil<\lg(2^{2017})+1$

$\lg(5^{2017})<\left\lceil\lg(5^{2017})\right\rceil<\lg(5^{2017})+1$

Събираме неравенствата, възползваме се от свойството сума на логаритми е равна на логатитъм от произведението, получаваме

$2017<N<2019$

[inveidar]

Това нещо не можах да го хвана!

[KOPMOPAH]

Решението без логаритми би изглеждало така:

Нека $2^{2017}$ има $m$ цифри, а $5^{2017}$ - съответно $n$. Тогава можем да твърдим, че

$10^{m-1}<2^{2017}<10^m$ и
$10^{n-1}<5^{2017}<10^n$

Като умножим двете неравнества, получаваме

$10^{m+n-2}<10^{2017}<10^{m+n}$, откъдето $m+n=2018$

[Genie_Almo]

Зад2.

След като балонът е спрял да се надува, значи е опрял всички ръбове на куба, иначе няма какво да го спре да се надува още. Значи би трябвало радиусът на сферата да е равен на разстоянието от центъра на куба до неговата проекция върху някой от ръбовете, т.е. $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

[inveidar]

Решението без логаритми би изглеждало така:

Нека $2^{2017}$ има $m$ цифри, а $5^{2017}$ - съответно $n$. Тогава можем да твърдим, че

$10^{m-1}<2^{2017}<10^m$ и
$10^{n-1}<5^{2017}<10^n$

Като умножим двете неравнества, получаваме

$10^{m+n-2}<10^{2017}<10^{m+n}$, откъдето $m+n=2018$

Записани едно след друго не означава умножени!

[Genie_Almo]

Умножението на двете неравенства е с цел да се намери $m+n$ , което представлява броят на цифрите на въпросното число (съставено от цифрите на другите две) , а самото произведение на двете числа играе ролята на ограничител, който в крайна сметка стеснява броя на възможностите до една.

[KOPMOPAH]

Зад2.

След като балонът е спрял да се надува, значи е опрял всички ръбове на куба, иначе няма какво да го спре да се надува още. Значи би трябвало радиусът на сферата да е равен на разстоянието от центъра на куба до неговата проекция върху някой от ръбовете, т.е. $\frac{\sqrt{2}}{2}a$

Надувайки се, балонът щеше да се опре в ръбовете на куб от тел и тогава горното щеше да вярно. Обаче в случая ще имаме един куб, чиито ръбове са дъги, които се виждат под ъгъл ...

[KOPMOPAH]

Умножението на двете неравенства е с цел да се намери $m+n$ , което представлява броят на цифрите на въпросното число (съставено от цифрите на другите две) , а самото произведение на двете числа играе ролята на ограничител, който в крайна сметка стеснява броя на възможностите до една.

Много добро разясняване, след което би трябвало да няма чудене

[inveidar]

Моето учудване идва от невъзможността да го обясните разбрано за всеки ученик, а не че не го разбирам аз.

[drago]

Ами с право се учудваш. Как да го разбере ученик, то няма логика, като четеш едно към едно без да го интерпретираш.
Имам предвид постовете след този на pal702004 - този с логаритмите. Защо пък него не разбираш? Може би, трябва доп. обяснение, защо броя на цифрите е въпросния логаритъм, но това е дреболия.

[Davids]

Моето учудване идва от невъзможността да го обясните разбрано за всеки ученик, а не че не го разбирам аз.

Да ти кажа честно, щекотлива тема е. Но по-скоро съм склонен да не се съглася с теб, тъй като все пак самият предмет тук в темата не е на нивото на всеки ученик и вероятно не представлява и интерес на съответният всеки ученик. И всекият ученик има пълното право това да е така, както и хората, дали мнение тук, имат право да го уформят по свое осмотрение. Та който проявява интерес би следвало да е склонен да положи и малко усилие за схващането на решението. Също е редно да вземем предвид и факта, че хич не е дотолкова недостъпно решението, просто са спестени чисто езиковите бележки по него, но го намирам за достатъчно детайлно и обосновано (разбира се, на официални изпити и прочее не би изглеждало така, но това е една друга тема ). Та, като решение за една вътрешно математическа среда, искам да кажа, би следвало да е достатъчно лесно храносмилуемо (пък било то и с малко повече усилие).
П.П.: Наистина страхотно безлогаритмично решение indeed.