Функции

[milen]

Здравейте, запецнах на 107 задача и не мога да стигна до отговора. Бих се радвал, ако някой ми покаже как да я реша. Благодаря предварително!

[Davids]

Първо ще сведем израза до формули на Виет:
$y = \frac{(b+2)^2(x_1^3 + x_2^3)}{x_1 + x_2} = \frac{(b+2)^2\cancel{(x_1 + x_2)}(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)}{\cancel{x_1 + x_2}} = (b+2)^2[(x_1+x_2)^2 - 3x_2x_2]$
По Виет имаме: [tex]\begin{array}{|l} x_1 + x_2 = \frac{2b}{b+2} \\ x_1x_2 = \frac{3b}{b+2} \end{array}[/tex]
Заместваме и опростяваме:
$y = (b+2)^2 (\frac{4b^2}{(b+2)^2} - 3.\frac{3b}{b+2}) = \cancel{(b+2)^2}.\frac{4b^2 - 9b(b+2)}{\cancel{(b+2)^2}} = -b(5b + 18)$
Сега ще подсигурим наличието на положителни корени. Трябват ни три условия: неотрицателна дискриминанта, положителен сбор и положително произведение на корените. Правим система:
$\begin{array}{|l} D \ge 0 \\ x_1x_2 > 0 \\ x_1 + x_2 > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 4b^2 - 4.3b(b+2) \ge 0 \\ \frac{3b}{b+2} > 0 \\ \frac{2b}{b+2} > 0 \end{array}$
Решения са респективно $b \in [-3; 2)$. Следователно това ни е интервала за $b$, с който ще се съобразяваме в горната функция на $b$ - $y$.
Малко анализ. Функцията $y = f(b) = -b(5b + 18) = -5b^2 -18b$ има най-голяма, но не и най-малка стойност. Максимум се достига при $b = -\frac{-18}{2.(-5)} = -\frac{9}{5} \notin ДС$
И понеже върхът на параболата е отдясно на интервала, то значи най-малката стойност в този интервал се постига при лявата граница, т.е. $f_{min}(b) = f(b_{min}) = f(-3) = 3(18 - 3.5) = 9$