Уравнение в естествени числа

[georgi111]

Да се намерят всички естествени числа [tex]a,b[/tex], за които съществуват прости [tex]p,q[/tex] и за които е в сила равенството : [tex](a^2+3ab+b^2)pq=2018(a+b)[/tex]

[Knowledge Greedy]

ptj , от представянето [tex]\left (a+b+\frac{ab}{a+b} \right ).p.q=2.1009[/tex] не следва ли непосредствено отрицателният отговор на поставения въпрос?
Отляво има поне три множителя (по-големи от единица), отдясно само два прости.

[ptj]

Първия може да е и рационално число.

Решението ми се нуждае от корекции, но не ми се занимава вече. Има грешка в края на първата част. Правилно е :

...
Общия вид на Питагоровите тройки е : [tex](u^2-v^2;2uv;u^2+v^2)[/tex], [tex](u>v)[/tex].
Подкоренната величина е точен квадрат само когато [tex]а=uv,t=u^2+uv-v^2 \Rightarrow 0<b=\frac{1}{2}\bigg(\pm(u^2+v^2)+(u^2+uv-v^2)-3uv\bigg)=u^2-uv[/tex].

[tex]u^2+uv-v^2=1009[/tex] е уравнение на елипса, но тя няма точка с естествени стойности и за двете координати.

Последното може да се докаже аналогично на предишните разглеждания - формули за корените на квадратно уравнение и питагорови тройки.

Липсващия край на втората част е аналогичен на написаното по-горе, т.е.
...
[tex]pa=uv, t=u^2+uv-v^2, b=...[/tex]


П.П. Предполагам, че авторовото решение е много по-елегантно. Моя начин е практически неприложим в състезания.

[ptj]

Уф, супер разсеян съм.

[tex]u^2+uv-v^2=1009[/tex] е уравнение на хипербола.

[tex]v=\frac{1}{2}(u-\sqrt{5u^2-4.1009})[/tex]

[pal702004]

Нека $t$ е НОД на променливите:

$a=tx,\; b=ty,\; \gcd(x,y)=1$. След полагане и съкръщаване се получава

$(x^2+3xy+y^2)tpq=2\cdot 1009(x+y)$

$x^2+3xy+y^2$ е:
1) нечетно
2) взаимнопросто с $x+y$
Остава да е делител на 1009. Или

$\begin{cases} x^2+3xy+y^2=1009\\tpq=2(x+y)\end{cases}$

Първото уравнение има единствено решение в естествени числа $(8,21)$ (и безброй много в цели), което, за съжаление, може да се намери само с пряка проверка. 29 е просто, така че $(a,b)=(8,21)\;(p,q)=(2,29)$

[ptj]

Парадокса е , че http://www.wolframalfa.com дава само [tex](0;0)[/tex] за целочислено решение на [tex]29(a^3+3ab+b^3)=1009(a+b)[/tex], което очевидно не е вярно.

Непрофесионалнта версия може да ви подведе при подобни проблеми.

[georgi111]

Имах предвид точно идеята на pal702004 ... И следния факт : Ако [tex](a,b)=1 \rightarrow (a^2 + 3ab + b^2, a+b) = 1[/tex]. Защо ? Защото ако е [tex]d[/tex] лесно имаме [tex]d | (a^2 + 3ab+b^2)- (a+b)^2 = ab[/tex] и [tex]d | a(a+b) \rightarrow d | a^2[/tex]. Аналогично [tex]d | b^2[/tex] и от [tex](a,b)=1[/tex] следва горното...

[georgi111]

Сега от доказаното и 2018=2.1009 следва, че [tex]a^2+3ab+b^2 | 2018 = 2.1009 \rightarrow a^2 + 3ab + b^2 \in (1,2,1009,2018)[/tex]

[georgi111]

От системката на pal702004 може леко да се "изхитрим" като я преобразуваме така :
[tex]\begin{cases} xy = 1009 - (\frac {tpq}{2})^2 \\ x + y = \frac {tpq}{2} \end{cases}[/tex]. Сега от обратната теорема на Виет имаме, че [tex]x, y[/tex] са корени на квадратното уравнение : [tex]a^2 - (\frac {tpq}{2})a + (1009 - (\frac{tpq}{2})^2)=0[/tex] с дискриминанта : [tex]5(\frac{tpq}{2})^2 - 4036 \ge 0[/tex]. Имаме също [tex](\frac {tpq}{2})^2 \le 1009[/tex] т.е. [tex]808 \le (\frac {tpq}{2})^2 \le 1009[/tex] или [tex]\frac {tpq}{2} \in (29,30,31)[/tex]. Случаите 30 и 31 не дават решение в естествени числа, докато 29 дава решението , посочено от pal702004.

[georgi111]

Благодаря Ви на всички за отделеното време и вложените усилия и надявам се Ви хареса задачката ...