Отново кенгурски задачи

[Davids]

Screenshot_2018-03-16-15-53-33.png (210.56 KiB) Прегледано 558 пъти

27. е основен интерес, за 26. съм сигурен, че е объркано условието, а 28. е приятна.

[ева]

27 зад.
отг.D) [tex]\frac{9}{32}[/tex]

[Davids]

27 зад.
отг.D) [tex]\frac{9}{32}[/tex]

Един от възможните, но все пак грешен отговор

[Knowledge Greedy]

26.
Откъде може да се получи [tex]20[/tex] като катет?
- от 4 - с умножаване по 5;
- от 5 - с умножаване по 4;
- от 10 - с умножаване по 2 ;
Дотук катетът [tex]20[/tex] получавахме от [tex]2mn[/tex] в питагоровата тройка [tex](m^2-n^2, 2mn, m^2-n^2)[/tex]
От [tex]m^2-n^2[/tex] катет [tex]20[/tex] можем да получим само още с [tex]\begin{array}{|l} m = 6 \\ n = 4 \end{array}[/tex] .
Така общо питагоровите тройки, във всяка от които [tex]20[/tex] е катет, са четири (отговор 26 D).
А именно:
[tex](20, 99,101)[/tex]
[tex](20, 48, 52)[/tex]
[tex](20, 21, 29)[/tex]
[tex](20, 15, 25)[/tex]

[Davids]

26.
Откъде може да се получи [tex]20[/tex] като катет?
- от 4 - с умножаване по 5;
- от 5 - с умножаване по 4;
- от 10 - с умножаване по 2 ;
Дотук катетът [tex]20[/tex] получавахме от [tex]2mn[/tex] в питагоровата тройка [tex](m^2-n^2, 2mn, m^2-n^2)[/tex]
От [tex]m^2-n^2[/tex] катет [tex]20[/tex] можем да получим само още с [tex]\begin{array}{|l} m = 6 \\ n = 4 \end{array}[/tex] .
Така общо питагоровите тройки, във всяка от които [tex]20[/tex] е катет, са четири (отговор 26 D).
А именно:
[tex](20, 99,101)[/tex]
[tex](20, 48, 52)[/tex]
[tex](20, 21, 29)[/tex]
[tex](20, 15, 25)[/tex]

Наистина не разбирам решението (по-скоро именно повратната точка с питагоровата тройка в общия й вид). Може ли малко по-широка елаборация?

[ева]

Скрит текст: покажи

Намерих си грешката-техническа. Задачата ми се струва твърде лесна за състезания.

зад. 27 отг.С) [tex]\frac{7}{32}[/tex]

[Davids]

Скрит текст: покажи

Намерих си грешката-техническа. Задачата ми се струва твърде лесна за състезания.

зад. 27 отг.С) [tex]\frac{7}{32}[/tex]

И все пак е кенгуру - 30 задачи за 75 минути, работата е щафетна и всичко опира до бързото хрумване... Което явно ми убягва тук

[pal702004]

Наистина не разбирам решението (по-скоро именно повратната точка с питагоровата тройка в общия й вид). Може ли малко по-широка елаборация?

Не разбирам какво точно не ти е ясно, в края на краищата трябва да реши в естествени числа уравнението $20^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)$
Или по колко начина 400 може да се предстви като произведение на две четни различни естествени числа, или ...факторизация на числото 100.
$100=1\cdot 100=2\cdot 50=4\cdot 25=5\cdot 20$ ($=10\cdot 10$, но тук множителите са равни).
(Използването на формулата за питагоровите тройки в непълния и вид не мисля, че облекчава решението, може даже да създаде проблеми. Трябва да се решават две задачи:
$2mnt=20$ и $(m^2-n^2)t=20$, където $m,n$ са взаимнопрости с различна четност, и т.н)

[ева]

27 зад. Нека т.Н,т.Е,т.F лежат на АВ,като [tex]М_{2 }[/tex]Н[tex]\bot[/tex]АВ,[tex]M_{3 }[/tex]Е[tex]\bot[/tex]АВ,[tex]М_{4 }[/tex]F[tex]\bot[/tex]AB.
Нека т.К,т.Р,т.R лежат съответно на CD,BC,AD,като [tex]M_{4 }[/tex]K[tex]\bot[/tex]CD,[tex]M_{2 }[/tex]P[tex]\bot[/tex]BC,[tex]M_{2 }[/tex]R[tex]\bot[/tex]AD;AB=a,BC=b
Предварително ще намерим S([tex]M_{3 }[/tex]BC),S(AB[tex]M_{2 }[/tex]),S([tex]M_{4 }[/tex]C[tex]M_{1 }[/tex]),S(A[tex]M_{1 }[/tex]D)

S([tex]M_{3 }[/tex]BC)=[tex]\frac{S(M_{2 }BC)}{2}[/tex]=[tex]\frac{BC.M_{2 }P}{2.2}[/tex]=[tex]\frac{b(a-RM_{2 })}{4}[/tex]=[tex]\frac{b(a-\frac{DM_{1 }}{2})}{4}[/tex]=[tex]\frac{b(a-\frac{a}{4})}{4}[/tex]=[tex]\frac{3ab}{16}[/tex]

S(AB[tex]M_{2 }[/tex])=[tex]\frac{AB.M_{2 }H}{2}[/tex]=[tex]\frac{a.\frac{b}{2}}{2}[/tex]=[tex]\frac{ab}{4}[/tex]
(средна отс.) [tex]M_{3 }[/tex]E=[tex]\frac{HM_{2 }}{2}[/tex]=[tex]\frac{b}{4}[/tex] ; EBC[tex]M_{3 }[/tex]-правоъгълен трапец със ср.основа F[tex]M_{4 }[/tex] т.е. F[tex]M_{4 }[/tex]=[tex]\frac{\frac{b}{4}+b}{2}[/tex]=[tex]\frac{5b}{8}[/tex]
тогава K[tex]M_{4 }[/tex]=b-[tex]\frac{5b}{8}[/tex]=[tex]\frac{3b}{8}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] S([tex]M_{4 }[/tex]C[tex]M_{1 }[/tex])=[tex]\frac{CM_{1 }.KM_{4 }}{2}[/tex]=[tex]\frac{\frac{a}{2}.\frac{3b}{8}}{2}[/tex]=[tex]\frac{3ab}{32}[/tex]
S(A[tex]M_{1 }[/tex]D)=[tex]\frac{\frac{a}{2}.b}{2}[/tex]=[tex]\frac{ab}{4}[/tex]
Идеята е: S(AB[tex]M_{2 }[/tex])+S([tex]M_{3 }[/tex]BC)+S([tex]M_{4 }[/tex]C[tex]M_{1 }[/tex])+S(A[tex]M_{1 }[/tex]D)+S([tex]M_{1 }[/tex][tex]M_{2 }[/tex][tex]M_{3 }[/tex][tex]M_{4 }[/tex])=S(ABCD)

S=ab-([tex]\frac{ab}{4}[/tex]+[tex]\frac{3ab}{16}[/tex]+[tex]\frac{3ab}{32}[/tex]+[tex]\frac{ab}{4}[/tex])=[tex]\frac{7ab}{32}[/tex]

[tex]\frac{S(M_{1 }M_{2 }M_{3 }M_{4 })}{S(ABCD)}[/tex]=[tex]\frac{\frac{7ab}{32}}{ab}[/tex]=[tex]\frac{7}{32}[/tex]