ЗМС 2014

[Neko- chan]

Да се намерят всички прости числа [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] и всички естествени числа [tex]k >1[/tex], за които числата [tex]p^{k}q+1[/tex] и [tex]pq^{k}+1[/tex] са точни квадрати.
Може ли някой да докаже по-общата задача за произволна степен вместо квадрат?

[pal702004]

$p=q=2,k=2$ е единствено решение.

$p^kq=(a-1)(a+1)$

Двата множителя вдясно могат да имат общ делител само 2. Тогава дясната страна се дели на 4 (даже на 8) и двете прости трябва да са двойки.
Ако двете прости са различни нечетни, то множителите вдясно трябва да съответстват на тези вляво, но ако $p>q$, то $p^k-q>2$

Ако са равни нечетни $p^{k+1}=(a-1)(a+1)$, то трябва да е изпълнено
$\begin{cases} a-1=1\\a+1=p^{k+1}\end{cases}$
а не е.