Параметрична функция - интервал на корени

[Davids]

Нека $a$ и $b$ са положителни числа. Да се докаже, че уравнението $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-a} + \frac{1}{x+b} = 0$ има реални корени, единият от които е в интервала $\Big(-\frac{2b}{3}; -\frac{b}{3}\Big)$, а другият е в интервала $\Big(\frac{a}{3}; \frac{2a}{3}\Big)$
П.С.: Втората част се доказва много лесно по папагалския начин, проверявайки дадените интервали, като заместваме с дадените им граници и доказваме строга положителност/отрицателност на функцията. Интересува ме виртуозния начин, т.е. как да намерим интервалите на двете решения спрамо параметъра (ако не ни бяха дадени).

[Knowledge Greedy]

Оценките на интервалите са груби. Не е случайно това, че интервалите [tex]\left (-\frac{2b}{3};-\frac{b}{3} \right )[/tex] и [tex]\left (\frac{a}{3};\frac{2a}{3} \right )[/tex] са отворени.

[Davids]

Оценките на интервалите са груби. Не е случайно това, че интервалите [tex]\left (-\frac{2b}{3};-\frac{b}{3} \right )[/tex] и [tex]\left (\frac{a}{3};\frac{2a}{3} \right )[/tex] са отворени.

И аз така си мисля, но това ми прави задачата някак блудкава - просто буквално проверяване на четири граници. И тъй като е от състезанието в Ловеч, което аз принципно смятам за по-креативно от гледна точка на задачи, реших, че трябва да има и по-висш замисъл и някак си да може да се изведе тази закономерност. Но благодаря за авторитетното потвърждение