Числова редица

[Davids]

Числова редица е образувана, като всеки следващ член е равен на сумата от цифрите на предходния, умножена по 243. Да се докаже, че за произволен първи член $a_1$ от един определен член нататък всички членове са равни на 4374.

[Добромир Глухаров]

"Некои съображения" (както казваше Тато):

Нека $f(n)=243.\sum digits(n)$

$f(1)=243,f(2)=486,...,f(99)=243.18=4374,...$

$f(k.243)=243.9.l$ (множителят 9 идва от това,че 9|243, следователно 9|(сумата от цифрите на к.243))
$f(k.243)=2187.l$

$f(2187)=243.18=4374$
$f(2187.2)=f(4374)=243.18=4374$
$f(2187.3)=f(6561)=243.18=4374$...

$f(99999)<99999$, следователно няма нужда да изследваме числа с 6 и повече цифри.

[Davids]

Ох, и аз така бях тръгнал, ама нещо много се озорих със завършването и цялостното осмисляне на концепцията... И сега го гледам разписано и пак се мъча и нещо май форсирам, ама не мога да си го представя напълно. Но що-годе успявам да проследя за какво иде реч

[pal702004]

И сега го гледам разписано и пак се мъча и нещо май форсирам, ама не мога да си го представя напълно.

Ако $a_n$ е $k$-цифрено число, т.е $10^{k-1}<a_n<10^k$ то

$a_{n+1}<a_n$

Наистина, сбора от цифрите на $a_n$ е максимум $9k$. Тогава $a_{n+1}\le 9k.243<10^{k-1}$ при $k>5$ (ако искаш можеш да го докажеш с индукция). Тоест, колкото и голям да е първия член, редицата е намаляваща (много бързо намаляваща) докато се стигне максимум до 5-цифрено число. А ако едно число се дели на 9 и е по малко от $10^6$, то сбора на цифрите му е кратен на 9 - от 9 до 45.
Какво става по-нататък за всеки от тези случаи е описано по-горе.

[Гост]

А при първи член 0 не стават ли 0 всички останали?