Квадратна решетка

[Davids]

Kvadratche.png (37.46 KiB) Прегледано 616 пъти

Приятна е задачката, ако трябва да сме честни

[Alex98]

Нека в първото квадратче е числото [tex]a[/tex] и частното на прогресиите по редове е [tex]p[/tex], а частното по стълбове е [tex]q[/tex].Получаваме системата:
\begin{array}{|l} ap^3=8\\apq=6\\ap^2q^2=36 \\aq^3=27 \end{array}
От 2-рото и 3-тото уравнение получаваме последователно [tex]pq=6[/tex] и [tex]a=1[/tex], а от 1-вото и 4-тото съответно [tex]p=2;q=3[/tex].Имаме единствено решение , като 4 от 16 числа в таблицата са точен квадрат , което е 25% вероятност.

[Davids]

Нека в първото квадратче е числото [tex]a[/tex] и частното на прогресиите по редове е [tex]p[/tex], а частното по стълбове е [tex]q[/tex]

А как достигна до извода, че частното във всеки ред и във всяка колонка ще е едно и също?

[pal702004]

Избираме частно на последната колона $\frac q 2$
Тя става $(8,4q,2q^2,q^3)$. Това определя последния ред: $(27,9q,3q^2,q^3)$.
Нека $a(2,3)=x$. Определяме $(q,x)$ от системата

$\begin{cases} x^2=6\cdot 4q\\36^2=x\cdot 3q^2\end{cases}$

Единствено реално решение: $q=6,x=12$, което определя еднозначно таблицата.

[tex]\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
1&2&4&8\\
\hline
3&6&12&24\\
\hline
9&18&36&72\\
\hline
27&54&108&216\\
\hline
\end{tabular}[/tex]

$a(m,n)=3^{m-1}\cdot 2^{n-1}$

Откъдето следва, че и числата във всички диагонали също образуват геометрична прогресия.

[Alex98]

Е щом чак толкова не ти харесва решението ето ти друго.Нека [tex]a_{11}=a[/tex] , частното на прогресията на първия ред е [tex]p[/tex] , а това на първия стълб [tex]q[/tex].Решаваме системата:[tex]\begin{array}{|l}a_{11}.a_{31}.a_{13}.a_{33}=a_{22}^4 \Rightarrow 36.a^3p^2q^2=1296 \Rightarrow a^3p^2q^2=36\\ a_{14}.a_{41}=8.27 \Rightarrow a^2p^3q^3=216 \end{array}[/tex].
Сега умножаваме двете уравнения и получаваме [tex](apq)^5=6^5 \Rightarrow apq=6[/tex]Вече лено намираме [tex]a=\frac{a^3p^2q^2}{(apq)^2}=\frac{36}{36}=1[/tex] и съответно [tex]ap^3=8 \Rightarrow p=2 ; aq^3=27 \Rightarrow q=3[/tex]

П.П. Уравненията в системата са основни свойства на геометричната прогресия