Описан четириъгълник

[Davids]

Четириъгълникът $ABCD$ е описан около окръжност с радиус $r = 3$. Точките $M, N, P, Q$ са среди съответно на страните му $AB, BC, CD, DA$. Ако $MP \cap NQ = O$, а лицата на четириъгълниците $AMOQ, BNOM, DQOP$ са съответно $8, 10, 13$, да се намери периметърът на $ABCD$.

[matst]

Отначало, [tex]GM[/tex] е медиана в [tex]\triangle ABG[/tex] и значи
[tex]2S_{\triangle AMG}=S_{\triangle AMG}+S_{\triangle MBG}=S_{\triangle ABG}[/tex]

После, от теоремата на Талес следва, че трите разстояния
Разстояние[Q, права AB], Разстояние[G, права AB], Разстояние[N, права AB]
в този ред образуват аритметична прогресия и значи (тук да напомним, че [tex]AM=MB[/tex] )
[tex]S_{\triangle AMQ}+S_{\triangle BNM}=1/2\, . \, \mbox{Разстояние}[Q, \mbox{права} AB]\,.\, AM+1/2\, . \, \mbox{Разстояние}[N, \mbox{права} AB]\,.\, MB=\mbox{Разстояние}[G, \mbox{права} AB]\,.\, AM= S_{\triangle ABG}[/tex]

Следователно, [tex]2S_{\triangle AMG}=S_{\triangle AMQ}+S_{\triangle BNM}[/tex].
Описателно казано, [tex]2S_{\triangle AMG}[/tex] е равно на сумата от лицата
на връхните триъгълници при връх [tex]A[/tex] и при връх [tex]B[/tex].
(Това може да се оформи като лема.)

Такава аналогична връзка между съответните лица има и в останалите още 7 триъгълника.
(4 върха по два триъгълника прави общо 8 бр. тр.). Нека си представим, че сме ги написали.
Ще ги използваме всичките.

Сега, [tex]2S_{\triangle AMG}+2S_{\triangle CPG}=S_{\triangle AMQ}+S_{\triangle BNM}+S_{\triangle CPN}+S_{\triangle DQP}[/tex]
и тази сума очевидно е равна на [tex]1/2S_{ABCD}[/tex].

Аналогично,
[tex]2S_{\triangle AGQ}+2S_{\triangle CGN}=S_{\triangle AMQ}+S_{\triangle DQP}+S_{\triangle CPN}+S_{\triangle BNM}=1/2\,.\,S_{ABCD}[/tex]

Следователно, [tex]2S_{AMGQ}+2S_{CPGN}=S_{ABCD}[/tex]
и значи [tex]S_{AMGQ}+S_{CPGN}=1/2\,.\,S_{ABCD}[/tex].

Следователно, [tex]S_{BNGM}+S_{DQGP}=1/2\,.\,S_{ABCD}[/tex].

Съгласно условието [tex]S_{BNGM}+S_{DQGP}=10+13=23[/tex].
Следователно, [tex]S_{ABCD}=46[/tex].

Радиусът на вписаната окръжност е 3 и по формулата [tex]S_{ABCD}=p.r[/tex],
от където търсеният периметър е [tex]2p=92/3[/tex].

.