Теория на числата

[Davids]

Да се намери най-малкото естествено число $k$, за което съществуват естествени числа $a$ и $b$ такива, че числото $\frac{a}{b} + \frac{a + k}{b + k}$ е цяло, а числото $\frac{a}{b}$ не е цяло.

[Genie_Almo]

Нека първо потърсим такова $k$, за което условието е изпълнено при $a<b$. Това ще означава [tex]\frac{a}{b}<1[/tex] и $\frac{a+k}{b+k}<1$ . Следователно единственият вариант е :

$\frac{a}{b}+\frac{a+k}{b+k}=1$

Това води до решаване на квадратното уравнение $b^2-2ab-ak=0$ с корени $b_{1,2 } = a +/- \sqrt{a^2+ak}$ .

Тъй като уговорката е ${a,b,k} \epsilon N$, остава единствения възможен вариант $b = a + \sqrt{a^2+ak}$. Необходимо също е $a^2+ak$ да е точен квадрат при минимално $k$. Минималното $k$ спрямо фискирано число $a$ ще бъде такова, че $ak=2a+1$, което има единствено решение в ествествени числа $({a,k})=({1,3})$. Намираме и $b=3$ като корен на квадратното у-ние и се убеждаваме, че тази тройка удовлетворява условието.

Сега трябва да отхвърлим $k=1$ и $k=2$.

1) $k=2$

$\frac{a}{b}+\frac{a+2}{b+2} = \frac{2ab+2a+2b}{b^2+2b}=z \Rightarrow 2\frac{a}{b}=z(b+2)-2(a+1)$

На последното равенството лявата страна очевидно трябва да е цяло число, но ако го запишем във вида:

$\frac{a}{b}=\frac{z(b+2)}{2}-(a+1)$, излиза че този път дясната част със сигурност не е цяло число, откъдето $b=2b_1+1$

Сега имаме, че $\frac{2a}{2b_1+1}=z_1$, откъдето $z_1$ четно число. Обаче четността на $z_1$ води до това, че $\frac{a}{2b_1+1}$ също трябва да е цяло, което е противоречие.

2) $k=1$

$\frac{a}{b}+\frac{a+1}{b+1} = \frac{2ab+a+b}{b^2+b}=z \Rightarrow z(b+1)-2a-1=\frac{a}{b}$, което влиза в противоречие с условието $\frac{a}{b}$ да не е цяло число.