Прости множители

[Davids]

Колко прости делителя има числото $51.63.69 + 320$?

[Knowledge Greedy]

[tex]51×63×69 + 320 = 222017[/tex]
Отговор: три, [tex]53, 59[/tex] и [tex]71[/tex]
[tex]222017 = 53×59×71[/tex]
(с калкулатор, разбира се

[Davids]

[tex]51×63×69 + 320 = 222017[/tex]
Отговор: три, [tex]53, 59[/tex] и [tex]71[/tex]
[tex]222017 = 53×59×71[/tex]
(с калкулатор, разбира се

То с калкулатора ясно, въпросът е, че е от кенгуру задачата и се чудя какъв е хитрият начин да открием конкретния брой прости множители. Нещо с факторизация, деление по модул?

[Kre4etalo]

По принцип [tex](x-12)x(x+6)+320=(x-4)(x+8)(x-10)[/tex], но и това не е особено хитро.

[martin123456]

[tex]3.17.3^2.7.3.23+2.5.2^5=3^4.7.17.23+2^6.5[/tex]. Значи просатите делители на са сред [tex]2, 3, 5, 7, 17, 23[/tex].
[tex]\pmod{11}: (-4)(-3)(3)+(3+0-2) \equiv 36+1[/tex]
[tex]\pmod{13}: (-1)(-2)(4)+8 \equiv 3[/tex]
[tex]\pmod{17}:[/tex]
[tex]\pmod{19}[/tex]
[tex]\pmod{23}[/tex]
..
Идеята щом е от това състезание е да се пробва наред с прости делители, докато не се откаже състезателят и не реши, че е просто.
Някои състезатели след проби ще се сетят да пробват с 53, т.е. ще реши, че няма по-малки прости делители.

[Knowledge Greedy]

Даденото число означаваме с [tex]A[/tex].

По принцип ... но и това не е особено хитро.

Напротив!
Kre4etalo направо е дал решението, замислено от авторите като ученическо. И хем е стандартно, хем е хитро !
Полагаме [tex]x=63[/tex],
след това от [tex](x-12)x(x+6)+320[/tex] през нормалния вид [tex]x^3-6x^2-72x+320[/tex], със схемата на Хорнер стигаме до
каноничния [tex](x-10)(x-4)(x+8)[/tex]
Е, кажете при [tex]x=63[/tex] числата
[tex]x-10=53[/tex]
[tex]x-4=59[/tex]
[tex]x+8=71[/tex]
- делители на [tex]A[/tex], не са ли прости?