Тангенсовидно изразче

[Davids]

Каква е рационалната стойност на израза $tg^6\frac{\pi}{7} - 21tg^4\frac{\pi}{7} + 35tg^2\frac{\pi}{7}$?

[matst]

Нека за краткост [tex]\theta=\pi/7[/tex], [tex]a=\tan(\theta)[/tex].

От известното равенство
[tex]\tan(\theta)\tan(2\theta)\tan(3\theta)=\sqrt{7}[/tex]
(виж например List_of_trigonometric_identities в en.wikipedia.org)
и [tex]\tan(2\theta)=\frac{2a}{1-a^2}[/tex], [tex]\tan(3\theta)=\frac{3a-a^3}{1-3a^2}[/tex] следва
[tex](a \frac{2a}{1-a^2} \frac{3a-a^3}{1-3a^2} )^2=7[/tex]

Прехвърля се знаменателя, разкриват се скобите и се получава
[tex]4a^4(3a-a^3)^2-7(1-3a^2)^2(1-a^2)^2=0[/tex]
[tex]4a^{10}-87a^8+204a^6-154a^4+56a^2-7=0[/tex]

Сега се дели с частно и остатък двата полинома
(може да се каже, че се разлага на множители над [tex]Q[/tex])
[tex]4x^{10}-87x^8+204x^6-154x^4+56x^2-7
=(4x^4-3x^2+1)(x^6-21x^4+35x^2)+(-28x^4+21x^2-7)
=(4x^4-3x^2+1)( (x^6-21x^4+35x^2) - 7 )[/tex]

При това множителят [tex]4x^4-3x^2+1>0[/tex] за всяко реално число [tex]x[/tex].

Следователно, [tex]a^6-21a^4+35a^2= 7[/tex].

Леле!

[Davids]

Е*ати, и това е задача от кенгуру... Ужас. Нито тригонометричното равенство ми беше известно (водях го и аз по форумите като търсих подобни задачи, но и него го доказваха... не мислех, че е кой знае колко популярно публично достояние ), нито бих се заел да разлагам на множители такова чудовище с вярата да получа накрая каквото са ми дали в условието

[matst]

Нека да отлежи известно време. Възможно е да има и хитро решение.

[matst]

Четох за минималните полиноми. Оказа се, че има научни статии относно
минималните полиноми за [tex]\sin(2\pi/n), \cos(2\pi/n)[/tex], обаче нищо не видях за съответният [tex]\tan[/tex].
Не вярвам да няма нещо написано по въпроса в нечия публикация.

Въпреки това, направих справка и на сайта на Wolfram има страница http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi7.html
специално за ъгъл [tex]\pi/7[/tex]. Така, например, формула (7) от тази страница е
[tex]\tan(\pi/7)=(x^6-21x^4+35x^2-7)_4[/tex]
и означава, че [tex]\tan(\pi/7)[/tex] е корен номер 4 на полинома [tex]x^6-21x^4+35x^2-7[/tex].
(номерацията е в съответствие с алгоритмите на Wolfram Language (Wolfram Mathematica) ).
Формули като формули - нищо особено не виждам.

[Kre4etalo]

Коефициентите 21 и 35 навеждат на мисълта за [tex](a+b)^7[/tex]. Особено като имаме предвид, че аргументите са [tex]\frac{\pi}{7}[/tex] и формулата на Моавър [tex]\left(\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)+i \sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\right)^7=-1[/tex], нещата започват да се избистрят, само да видим как да ги комбинираме. Да разкрием скобите в горната формула и да разгледаме имагинерната част (която е [tex]0[/tex], понеже в крайма сметка се получава [tex]-1[/tex]). За краткост ще означаваме [tex]A=\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)[/tex] и [tex]B=\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)[/tex]. По този начин [tex]\tan\left(\frac{\pi}{7}\right)=\frac{B}{A}[/tex]. За имагинерната част имаме [tex]7A^6B-35 A^4 B^3 + 21 A^2 B^5 - B^7=0[/tex]. Сега просто съкращаваме на [tex]A^6B[/tex] и получаваме отговора.